Algèbre: module et matrice

[joanie58]

Bonjour,

voici ma question:

soit E un Z_3-espace vectoriel de base {e1, e2, e3} et soit f: E-->E, un application linéaire tel que f(e1)=f(e2)=f(e3) = e1+e2+e3. Montrez que E est un Z_3 [x]-module de torsion.

Z_3 = {0,1,2} tel que -3 = 0 = 3 =6 = 9 ..... tel que -2 = 1 = 4 = 7 = 10 .....
tel que -1 = 2 = 5 = 8= ..


Est-ce que Z_3-espace vectoriel de base {e1, e2, e3} c'est {(a,b,c) tel que a,b,c élément de Z_3}
et je ne comprend pas comment utiliser f pour montrer ce qu'il y a montrer.

Merci

[L.A.]

Bonjour.

Est-ce que Z_3-espace vectoriel de base {e1, e2, e3} c'est {(a,b,c) tel que a,b,c élément de Z_3}

Oui, l'ensemble que tu as écris à droite s'écrit aussi (Z_3)^3, et si E est un K-ev de base {e1,e2,e3} alors il existe un isomorphisme (assez naturel) entre E et K^3 (qui envoie (1,0,0) sur e1, (0,1,0) sur e2, etc...). Le fait que K soit fini ou pas n'y change rien.

je ne comprend pas comment utiliser f pour montrer ce qu'il y a montrer.

A mon avis f sert à définir la structure de Z_3[X] module de E. Un K-ev E peut être muni d'une structure de K[X]-module lorsqu'on choisit un endomorphisme f de E, la loi externe de module est alors définie tout simplement par

(P(X)).v := P(f)(v)