Algèbre matrice diagonalisable et valeurs propres

[sarah79]

Bonjour,

je révise mon algèbre pour mes partiels et je m'entraine sur des sujets de partiels des années d'avant. En voici un :

Soit A la matrice : A =
0 1 ;)4
1 3 ;)1
1 3 ;)3
a) Quelles sont les valeurs propres de A?
Vérifier A²=/= A + 2I3. En déduire que A n’est pas diagonalisable dans M3(C).
b) Pour n appartient à N, déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme X^n par
(X + 1)²(X ;) 2) en déduire la valeur de A^n en fonction de n.
c) Justifier l’existence de polynômes U et V tels que
(X^15 + X^12 + 1) U(X) + (X + 1)²(X ;) 2) V (X) = 1.
En déduire que la matrice A^15 + A^12 + I3 est inversible.


pour la pemière question j'ai cherché le polynome caractéristique car ces racines sont les valeurs propres. Hors ici j'ai un polynome de degré 3 : X^3-3X-28 qui n'a donc pas de racines simples et de toutes façon il faut dire qu'elle n'est pas diagonalisable donc c'est bon.
Par contre je ne vois pas a quoi ça sert de montrer que A² différent de A+2Id(3)??

La b) a l'air trop dur je n'ai pas essayé

la c) Il faut dire qu'il existe U , V tel que AU+BV=1 car A et B premier entre eux je ne vois pas comment le montrer qu'ils sont premiers puis je ne vois pas comment montrer que A^15+A^12+Id3 inversible.


merci de votre aide.

[Ben314]

Salut,
Ta GROSSE ERREUR est là :

...le polynome caractéristique... n'a pas de racines simples donc la matrice n'est pas diagonalisable...

Tu as un théorème qui dit :

SI le polynôme caractéristique n'a que des valeurs propres simples ALORS la matrice est diagonalisable.

Et, bien sûr, il ne faut pas confondre une IMPLICATION et une EQUIVALENCE.

Exemple :
La matrice I3 (identité) est-elle diagonalisable ?
Son polynôme caractéristique est il à racines simples ?

[sarah79]

oui la matrice I3 est diagonaisable.

En fait c'est le polynome minimal qu'il faut que je cherche, que je regarde si (Id3,A) libre ou non puis si libre on regarde (Id3, A, A²) c'est ça?

Si ce n'est pas comme ça pouvez vous me dire la méthode a suivre svp?

[Nightmare]

Salut,

déjà, tu t'es trompé dans ton polynôme caractéristique. Tu devrais trouver X^3-3X+2 (ce qui donne un peu plus de sens au A² =/ A+2I )

[bentaarito]

Salut,

déjà, tu t'es trompé dans ton polynôme caractéristique. Tu devrais trouver X^3-3X+2 (ce qui donne un peu plus de sens au A² =/ A+2I )

je ne suis pas d'accord avec ce que tu trouves :
moi je trouve -X^3+3X+2!!!! (le coeff. de X^n est (-1)^n!!!!)

[bentaarito]

Pour A²!=A+2I tu peux remarquer que X²-X-2 ne div pas X^3-3X-2

[Nightmare]

je ne suis pas d'accord avec ce que tu trouves :
moi je trouve -X^3+3X+2!!!! (le coeff. de X^n est (-1)^n!!!!)

En fait, je voulais écrire X^3-3X-2 et non +2, donc nous sommes d'accord.

[Nightmare]

tu peux remarquer que X²-X-2 ne div pas X^3-3X-2

je comprends pas bien, X^3-3X-2=(X+1)(X²-X-2) !

[bentaarito]

je comprends pas bien, X^3-3X-2=(X+1)(X²-X-2) !

oui, je me suis gourré :marteau:

[sarah79]

Je n'arrive pas à trouver le même polynome que vous, pouvez vous me dire comment vous procédez pour trouver les valeurs propres et le pôlynome s'il vous plait?

[Nightmare]

Ya pas de miracle, on calcule juste det(A-Xid), toute la difficulté est ... de ne pas se tromper dans les calculs :lol3:

[sarah79]

j'ai réussi a trouver le meme polynome que vous -X^3+3X+2=(X+1)(-X²+X+2)
la racine de (x+1) est -1
les racines de -x²+x+2 sont -1 et 2

Comme l'une des racines se répètent (-1) donc c'est pour cela que la matrice n'est pas diagonalisable?

[sarah79]

Pour la question b et c pouvez vous me donner quelques indications svp?

[sarah79]

quelqu'un peut-il m'aider svp pour la question b et c? Merci d'avance.

[windows7]

2) t'as essayé au moins ?
3) y'a un analogue dans Z ..

[sarah79]

oui j'ai essayé pour la b mais ne connaissant pas n je ne vois pas comment faire.
Pour la c, un analogue? Je sais pas ce que c'est.