Algébre : logique , ensembles

[Raven]

Bonjour , voilà des exercices que je n'arrives pas à tout faire
exercice 1 :

j'ai commencé mais je suis bloqué à l'hérédité , je trouves ((-1)^n(2n + 1) - 1+4n+4)/4 ..

exercice2

J'ai trouvé quelque soit x appartenant à R , e^x différent de 1

exercice 3 :
1) j'ai trouvé gof = (Ve^x) +3
ensemble de départ : [O;+infini [ et arrivé R ?
J'ai trouvé que f est injective car si on prend x =x'=0 , f(x)=f(x')
pour la surjectivité j'ai du mâl..

pour la bijection réciproque j'ai pris (Ve^y)+3=x aprés je trouves une expression un peu bizarre y = log (x²-9)..

je vous joint le sujet , car je n'arrivais pas à tout réécrire ..
Merci de votre aide

http://math.univ-lille1.fr/~mass/Cours_Maths_fichiers/Alg-S1/IE2-alg%C3%A8bre-2010.pdf

[Manny06]

Bonjour , voilà des exercices que je n'arrives pas à tout faire
exercice 1 :

j'ai commencé mais je suis bloqué à l'hérédité , je trouves ((-1)^n(2n + 1) - 1+4n+4)/4 ..

exercice2

J'ai trouvé quelque soit x appartenant à R , e^x différent de 1

exercice 3 :
1) j'ai trouvé gof = (Ve^x) +3
ensemble de départ : [O;+infini [ et arrivé R ?
J'ai trouvé que f est injective car si on prend x =x'=0 , f(x)=f(x')
pour la surjectivité j'ai du mâl..

pour la bijection réciproque j'ai pris (Ve^y)+3=x aprés je trouves une expression un peu bizarre y = log (x²-9)..

je vous joint le sujet , car je n'arrivais pas à tout réécrire ..
Merci de votre aide

http://math.univ-lille1.fr/~mass/Cours_Maths_fichiers/Alg-S1/IE2-alg%C3%A8bre-2010.pdf

tu as du perdre quelque chose
la somme de 1 à n+1 de (-1)^k.k = [(-1)^n(2n+1)-1+4(-1)^n+1 (n+1)]/4
ensuite il te reste à arranger pour trouver p(n+1)

gof va de R dans R
pour la fonction reciproque
x=V(e^y)+3 donc x-3 =V(e^y) soit (x-3)²=e^y et x-3>0 soit y = ln(x-3)² et x-3>0
finalement y=2ln(x-3) mais ceci uniquement si x>3
pour moi gof est bijective de R dans ]3;+infini[

[Raven]

je ne voit pas comment arriver à (-1)^n+1(2n+2)/4..en factorisant j'arrive à des (-1)^n(-n+5)..enfin un résultat qu'on doit pas trouver quoi..

pourquoi gof va de R dans R ? j'ai pas compris
et on trouve d'abord la bijective réciproque pour conclure qu'elle est bijective ?

[Manny06]

je ne voit pas comment arriver à (-1)^n+1(2n+2)/4..en factorisant j'arrive à des (-1)^n(-n+5)..enfin un résultat qu'on doit pas trouver quoi..

pourquoi gof va de R dans R ? j'ai pas compris
et on trouve d'abord la bijective réciproque pour conclure qu'elle est bijective ?

le 1) se fait par récurrence
pour n=1 le 1° membre vaut (-1)*1 =-1
le 2°[(-1)*3-1]/4=-4/4=-1

si on a P(n)
on ajoute (-1)^(n+1)*(n+1) des deux côtés
à droite on a
[(-1)^n*(2n+1)-1]/4+(-1)^(n+1)*(n+1)
on reduit au denominateur 4
le numérateur est (-1)^n*(2n+1) -1 +4(-1)^(n+1)*(n+1)
tumets (-1)^(n+1) en facteur
(-1)^(n+1)*(-2n-1+4n+4) je te laisse terminer le calcul




pour gof
on commence par f qui va de R dans ]0,+infini[
g est defini sur R+ donc on peut calculer g(f(x)) le resultat appartient à R par definition de g

il faut d'abord démontrer que gof est bijective avant de calculer la reciproque
mais la ,il faut modifier les ensembles
f est bien une bijection de R sur ]0;+infini[
mais g est une bijection de ]0;+infini[ sur ]3;+infini[
donc gof est une bijection de R sur ]3;+infini[

[Raven]

D'accord merci j'ai compris :)