Algèbre linéaire

par **girdav** » 06 Déc 2009, 14:43

Bonjour.
Un problème d'algèbre linéaire donc, qui a l'air classique:
Soit

telle que

et

.
Il s'agit de montrer que

.
Je me dis alors que si je montre que

est symétrique alors j'ai gagné car on peut la diagonaliser.
Le problème est que

n'implique pas cette propriété.
J'ai aussi tenté une récurrence sur la dimension de la matrice, en m'appuyant sur le fait que

est valeur propre de

et que l'espace propre est stable par

mais je n'ai pas abouti.
Avez-vous des idées?

par **Doraki** » 06 Déc 2009, 14:48

Il se passe quoi si (-1) est une valeur propre de A² ?

par **yos** » 06 Déc 2009, 15:06

T'as aussi A qui laisse stable les sep de

et ces derniers ont pour somme E.

par **ffpower** » 06 Déc 2009, 16:02

, ca veut dire que A est normale donc diagonalisable dans C non?

par **Nightmare** » 06 Déc 2009, 16:20

Salut à tous :happy3:

Sans parler de réduction, je muni Mn(R) du produit scalaire

.
si je note M=A²-I, on vérifie sans peine que

.

Sauf que

Du coup

d'où

, ie

et donc

:happy3:

par **girdav** » 06 Déc 2009, 16:25

J'y ai pensé mais je ne vois pas le lien avec le polynôme annulateur.
Brillante solution de de Nightmare! Il fallait y penser.

par **Nightmare** » 06 Déc 2009, 16:29

Le lien est que

c'est tout.

Si tu veux X² est annulateur de A²-I.

par **girdav** » 06 Déc 2009, 16:31

Oui, mais en quoi le fait que les sous-espaces propres de

soient stables par

garantit que

?

par **Nightmare** » 06 Déc 2009, 16:41

Comme l'a dit Yos , les sep ont pour somme l'espace entier !

par **yos** » 06 Déc 2009, 17:13

girdav a écrit:Oui, mais en quoi le fait que les sous-espaces propres de soient stables par garantit que ?

J'ai fait que lancer une piste. Sachant que

est diagonalisable, on peut regarder la matrice de A dans une base de vecteurs propres de

. Comme de plus les vp de A sont parmi 1 et -1, ça peut le faire (peut-être).
Mais tu as la preuve de Nightmare qui n'utilise pas tout ça (il y manque quelques "trace" d'ailleurs).

par **Nightmare** » 06 Déc 2009, 17:16

yos a écrit: (il y manque quelques "trace" d'ailleurs).

elles sont masquées dans les normes !

par **yos** » 06 Déc 2009, 18:05

Nightmare a écrit:

C'est plutôt :

par **Nightmare** » 06 Déc 2009, 18:56

Oups bien sûr, tu as raison.

par **girdav** » 06 Déc 2009, 18:58

Ce qui n'enlève rien à l'idée. J'aurais peut-être dû y penser, en tenant compte du fait que cet exercice se trouve dans une feuille de TD consacrée aux produits scalaires.
En plus, j'avais utilisé celui-là à l'exercice d'avant.

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