Algèbre linéaire

[jerem psud]

Bonjour, étant en période de révision pour les examens, je me suis procuré un examen des années précédentes, mais j'ai quelques soucis de compréhension étant donné que je ne possède pas de correction.

Soit E un R espace vectoriel de dim finie, dim E=n, et U un endomorphisme de E.On suppose que n=4 et que le rang de u est égal à 1.

1. Montrer que le rang de U rond U est égal à 0 ou 1
2. On suppose que le rang de U rond U est égal à 1, et soit X un vecteur non nul de Im(U). Montrer qu'il existe "a" appartient à R\{0} tel que u(X) = aX.
Montrer qu'il existe une base de E dans laquelle la matrice U est:

a 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0


Voilà merci beaucoup de votre aide.

[nonam]

Bonjour,
pourrais-tu préciser ce que tu as fait, et les endroits où tu bloques ?

[jerem psud]

et bien il y avait plusieurs questions avant que j'ai faite donc je ne l'ai pas mise.
Pour la question 1, j'ai pensé à :
comme rg(u)= 1 alors dim Im(u)=1
comme c'est un endomorphisme, donc u°u appartient à E, et donc dim Im(u°u)=1, et donc rg(u°u)= 1, mais je n'arrive pas à le prouver pour 0.

Pour la question 2, comme u°u = 1, alors rg(u)=1, et donc dim Im(u)=1, donc il existe un réel a tel que u(X)=aX.
Par contre pour la matrice je bloque

Voila merci

[nonam]

Je n'ai pas trop compris ce que tu as fait pour la première question (ce n'est pas parce que Im(u°u) C E que dim(Im(u°u)) =1 !). Ce qu'il faudrait montrer, c'est que Im(u°u) C Im(u).
Pour la matrice : tu complètes (X) en une base de E. Puis regarde la matrice de U dans cette base...

[jerem psud]

ok merci Noman,je viens de comprendre mon erreur pour la question 1, (problème résolu), par contre pour la matrice je ne comprends pas trop ce que tu veux dire

[nonam]

Ben tu prend le X de Im(U) utilisé précédemment. Comme X 0, tu peux compléter (X) en une base de E (théorème de la base incomplète).
Tu devrais pouvoir montrer que la matrice de U dans cette base est bien celle recherchée.

[jerem psud]

ok c'est bon, merci pour ce coup de main.
Bonne apres midi

[nonam]

De rien. Bonnes révisions à toi.