j'ai du mal à comprendre la fin de cette démonstration (qui est dans le "Histoire hédonistes de groupes et de géométries, page 129)
C'est le moment où la transposée de P apparait qui me chiffone.
Voici mon raisonnement :
J'appelle i l'application de F dans E qui à x associe x (inclusion canonique)
Alors A est la matrice de l'application i avec f comme base de départ et e comme base d'arrivée.
Alors A' est la matrice de l'application i avec f' comme base de départ et e comme base d'arrivé.
P est la matrice de passage de f vers f'.
P est la matrice de l'application id_F avec f' comme base de départ et f comme base d'arrivée.
Ainsi,
Donc A'=AP
Plus ça va, moins je vois d'où viens cette transposée...
Remarque : (ça peut clarifier, en tout cas c'est mon point de départ)
Soit x dans F,
X les coordonnées de x dans la base f et
X' les coordonnées de x dans la base f'
alors AX=A'X'=x et PX'=X
donc AX=APX'=A'X'
Ce qui montre, par arbitraire de x, que A'=AP