Algèbre linéaire

[zwijndrecht]

Bonjour,
Soit un espace vectoriel, soit une forme linéaire et soit une application linéaire telles que .
J'aimerais montrer qu'il existe une application linéaire telle que

Voici ce que j'ai commencé à faire :
- Analyse :
Soit une base de que l'on complète en une base de .
Par linéarité de , il suffit de la définir sur les vecteurs de la base.
Pour , on a , avec .
On a donc nécessairement donc .

Mais ensuite, je ne vois pas comment continuer.
J'ai essayé de poser pour , mais je ne parviens pas ensuite à montrer que cette application répond au problème...

Merci d'avance pour votre aide.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Tu as fais ce qu'il fallait.

Il te reste à voir qu'avec la forme linéaire que tu as définie, on a bien . Pour cela, il suffit de le vérifier sur une base de . Tu peux trouver une base de bien adaptée pour faire le job ...

[zwijndrecht]

Merci pour ta réponse.
Ok, mais le problème, c'est que n'est a priori pas supposé être de dimension finie...

[GaBuZoMeu]

Il n'en a pas moins une base.

Mais si tu préfères, tu peux le décomposer en une somme directe d'un sous-espace de dimension finie (dont tu as une base sous la main) et d'un sous-espace dont on parle dans l'énoncé.

[zwijndrecht]

Ok, merci beaucoup.
Je préfère la 2e version (en fait, j'ignorais qu'un espace de dimension infinie possédait toujours une base...)

[GaBuZoMeu]

Modulo, l'axiome du choix, oui : c'est une famille libre (éventuellement infinie) maximale.

On peut aussi raisonner à l'aide d'espaces vectoriels quotients (quotienter ici par le noyau de . Le choix d'un supplémentaire revient à une version non canonique du quotient.

[zwijndrecht]

Ok.
Merci beaucoup en tout cas