Algèbre linéaire 2

[Anaisdeistres]

Bonsoir

Exercice 2.
Soit f : R 3 → R 3 définie par f ( x , y , z ) = ( 2 x − y + 3 z , x + y − 2 z , 4 x + y − z )
a) Montrer que f est un endomorphisme de R3.
b) Déterminer Ker f et Im f ; que peut-on en déduire pour f ?

a) f(x+x',y+y',z+z')∈f
f(λx,λy,λz)∈f
Donc f est un endomorphisme de R3

b) On cherche KERF

[L1] 2x-y+3z=0
[L2] x+y-2z=0
[L3] 4x+y-z=0

[L1] 2x-y+3z=0
[L2+L3] 5x+y-z=0

[L1-(L2+L3)] 7x+y=0 et x=-y/7

On remplace dans L2
[L2] (-y/7)+y-2z=0 et y=(7/3)z

On a z quelconque

KERF=Vect((0,-1/7,0),(0,0,7/3))

dim(KERF)=2
dim(IMF)=1

IMF=Vect(2,1,4)

f n'est ni surjective ni injective

Merci

[pascal16]

pour kef(f) regarde au moins si les vecteurs que tu trouves ont comme image le vecteur nul

[L1] 2x-y+3z=0
[L2] x+y-2z=0
[L3] 4x+y-z=0

L1+2L2=L3, le système est équivalent à celui formé de deux équation seulement
[L1] 2x-y+3z=0
[L2] x+y-2z=0
L1 et L2 sont évidement non liées, leur intersection est une droite vectorielle

L1+L2-> tu as x en fonction de z
L1-2L2 -> tu as y en fonction de z
tu poses z=une valeur qui te permet d'exprimer simplement ton ssev

[Anaisdeistres]

A oui d'accord je comprend