Algèbre linéaire 1

[Anaisdeistres]

Bonjour,

Je suis en L2 Maths à distance et voici mon exercice.

Exercice 1.
S o i t f : R 3 → R 3 définie par f ( x , y , z ) = ( 3 x + 3 z , − 2 x + y − 4 z , x + 3 y − 5 z )
a) Montrer que f est un endomorphisme de R3.
b) Calculer les images par f des vecteurs e1,e2,e3 de la base canonique de R3.
c) Calculer l’image par f du vecteur u = (−1, 2, 3).
d) Déterminer Ker f et Im f ; que peut-on en d ́eduire pour f ?

a) ok
b) ?
c) ?
d) On cherche Ker F

3x+3z=0
-2x+y-4z=0
x+3y-5z=0 on a z=-x, x=-z, y=4z+2x

Ker(f)=Vect((0,2,-1),(-1,4,0)

On cherche Im f

Im f = Vect((3,-2,1),(0,1,3),(3,-4,-5))

R2 dans R3 donc f est injective

Je ne comprend pas comment calculer les images par f des vecteurs e1,e2,e3 de la base canonique de R3 ?

Est ce que le reste de mon exercice est juste ?

Merci

[pascal16]

f(e1) =f(1,0,0)
f(e2) =f(0,1,0)
f(e3) =f(0,0,1)
f( u) = f(−1, 2, 3)

Im(f) est de dimension 2 (voir question suivante), si f(e1) et f(e2) ne sont pas liés, ils sont suffisants

[pascal16]

Ker de f
-> n'est pas de dimension 0 car les vecteurs sont liés
-> n'est pas de taille 3 car les 3 vecteurs ne sont pas nuls
-> n'est pas de taille 2 car les 3 vecteurs ne sont pas proportionnels

3x+3z=0
-2x+y-4z=0
x+3y-5z=0

avec L3, je supprime x
<=>
-9y+18z=0
7y-14z=0
x+3y-5z=0
deux lignes sont identiques, je supprime et je choisi z comme variable
<=>
z quelconque
y-2z=0
x+3y-5z=0
<=>
z quelconque
y=2z
x=z
soit un ss ev engendré par (1;2;1);sauf erreur de ma part

[Anaisdeistres]

Ok merci bcp du coup mon Im f est correct ?

[pascal16]

non, tu dis juste la définition, tu écris un espace de dimension 2 avec 3 vecteurs, il faut simplifier.
ici, 2 vecteurs non liés suffisent (en fait n'importe quel couple de 2 vecteurs sur les 3 va).

[Anaisdeistres]

A oui d'accord donc R3=dim Ker f + dim Im f et par exemple je prend Im f = Vect((3,-2,1),(0,1,3)) ? Merci mais par contre pour le noyau je crois que tu t'es trompé on a x=-z donc on a ker f = (-1,2,1) et donc qu'est ce que je peux conclure ? dim ker f < dim Im f donc f est surjective ?

[pascal16]

dim ker f < dim Im f donc f est surjective ? ---> d'où tu sors ça ???????????

ker f = (-1,2,1) <-- c'est vrai, ça prouve que tu progresses

dim (Im(f))=2.
c'est à dire l'image de R^3 est un ssev de dimension 2, un plan vectoriel.

est-ce qu'un plan vectoriel est R^3 tout entier ?

que peut-on en d ́eduire pour f ?
ker(f) n'est pas réduit au vecteur nul, ça fait une autre info

[Anaisdeistres]

D'accord donc mon Im f est juste ? Ensuite c'est tout ce qu'on peut conclure pour f ? Merci

[pascal16]

ker(f) n'est pas réduit au vecteur nul, ça fait une autre info
-> le cours dit quoi

[Anaisdeistres]

Proposition 7 – Soit f ∈ L(E,F). f est surjective si et seulement si Imf = F. Démonstration : comme Imf = f(E), le résultat est évident
Proposition 8 – Soit f ∈ L (E, F ). f est injective si et seulement si Ker f = {0}.

Là j'ai rien

[LB2]

Bonsoir,

connais tu le théorème du rang?

[Anaisdeistres]

Théorème du rang c'est dim kerf + dim imf = E mais là je vois pas ce que je peux conclure sur f puisque dim kef = 1 et dim imf = 2 or ici E = 3 et F = 3 ??

Donc f n'est ni surjective ni injective. Est ce que mon Im f est juste finalement ou pas ?

[pascal16]

Proposition 7 – Soit f ∈ L(E,F). f est surjective si et seulement si Imf = F.
ici F=E=R^3
et on a pas Im(f)=R^3

Proposition 8 – Soit f ∈ L (E, F ). f est injective si et seulement si Ker f = {0}.
et on a pas Ker f = {0}

f non injective, non surjective.

Im f = Vect((3,-2,1),(0,1,3))
oui. le troisième vecteur s'écrit comme combinaison linéaire de (3,-2,1) et (0,1,3), il est inclus dans Vect((3,-2,1),(0,1,3))

[LB2]

Théorème du rang c'est dim kerf + dim imf = E

Attention tu confonds E et dim(E) : ce que tu as écris n'a aucun sens.

f n'est ici ni injective ni surjective.

Pour être plus fin, on décrit à quoi ressemble Im(f) en précisant rang(f)=2