Algèbre linéaire

[Dihtbscii]

Bonsoir à tous!
Je voulais vérifer mes bases, et je suis tombé sur une page wiki avec laquelle je suis d'accord mais ne suis pas sûr de comprendre exactement les arguments :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Matrice_inversible
Le passage qui me gene est " AB = BA = In, ( AB = In suffit d'après le théoreme du rang )"

Je vais vous expliquer comment je vois la chose, le théorème du rang doit être sous jacent dans mon "raisonnement" mais il n'apparait pas. De plus pour démontrer cela on ne doit pas parler de matrice inversible etc... et je ne suis pas sûr de prendre mes arguments à la base.

je pars de AB=In j'en déduis que rg(AB)=n donc que rg(B)=rg(A)=n .
Je vois alors A et B comme des matrices de passage et peux alors dire qu'il existe C tq CA=I . De plus CAB=B=C d'ou BA=I. :hum:

Comme vous pouvez le voir, je tiens des arguments trop "puissants" et n'arrive pas à refaire la construction initiale de la théorie de l'algébre linéaire. :triste:

Quelqu'un pourrait t'il m'éclaircir? :id:

[bentaarito]

je ne vois pas vraiment ce que tu veux dire?
si tu parles de "( AB = In suffit d'après le théoreme du rang )"
et ben tu peux voir la chose autrement:
soit C l'inverse à gauche de A
donc CA=In ,--> CAB=B-->CIn=B-->C=B:l'inverse à gauche

[laya]

Je n'ai pas bien compris le problème qui te préoccupe.
Néanmoins, si ton but est de montrer cette implication sans faire appel à la notion de rang et même d'inversibilité, tu peux considérer l'endomorphisme de :

est injectif car implique
Il est donc bijectif et il existe tel que . En multipliant à droite par B, on obtient : et donc .

[Dihtbscii]

Merci laya, c'est ce que je voulais même si maintenant j'ai honte :mur:

bentaarito : "soit C l'inverse à gauche de A"
La tu te sers du fait qu'une matrice carrée de rang plein est inversible, ce qui me semble dangereux sachant qu'on veut montrer qqchose qui touche la définition d'inversibilité.
D'ailleurs comment on montre cela?
-Est ce juste si j'utilise les matices de passage? A transforme une base a en une base b, il existe une matrice B qui transforme b en a, AB=I=BA.
-Est ce juste si je dis qu'avec un pivot de gauss uniquement sur les lignes ou uniquement sur les colonnes je peux tjs, en partant d'une matrice de rang plein, avoir l'identité. Donc qu'il existe B tq AB=I; il existe C tq BC=I; et par tjs le même argument B=C ?

Je sais que mes questions ne sont pas trésp oussées, mais j'essaye d'avoir des bases bien ordonnées :hum:

[Dihtbscii]

Ou sinon comme laya,
M ->AM est injective car AM=0=>M=0, donc bijective, donc il existe un unique M tq AM=I
Avec la même suite. :dodo:

[bentaarito]

j'ai pas encore bien compris ta question, et je comprends pas ce que tu qualifies de dangereux !
Ce que je t'ai montré c'est que si A est inversible à gauche (également à droite) par B alors elle l'est nécessairement à droite( également à gauche) par C et que B=C :marteau:

[Dihtbscii]

Ok, alors je te pose la quesion "comment as-tu l'existence d'un inverse à gauche ou à droite?"

[Dihtbscii]

En fait, je voudrais en utilisant les arguments les plus basiques possible, montrer q'une matrice de rang plein est inversible.
(Je sais le faire de mille façons mais j'ai cette étrange impression, que vous avez peut être tous eu, que j'utilise des résultats sans jamais revenir à la base. En fait pr montrer qqchose, je montre que c'est équivalent à qqchose que je sais, si je veux montrer cette dernière, je montre que c'est équivalent à qqchose que je sais etc... sans forcément arriver à qqchose de plus simple).

Mais visiblement laya a répondu à ma question, car comme je l'ai fait 3 messages au dessus, on montre l'inversibilité à partir des notions de base : "endomorphisme, noyaun image, théorème du rang, composition de matrices".

Dite moi si je ne vois pas les choses dans le bon ordre, pour moi ces dernières notions sont à introduire avant de parler d'inverse.

Qd je disais plus haut que je pouvais voir AB (de rang plein)comme étant juste un changement de base de depart de A, et que comme avec un pivot de gauss sur les colonnes uniquement je pouvais avoir l'identité, alors il existe B tq AB=I; est ce que cet argument est simple?
Ou qd je disais qu'une matrice de rang plein est une matrice de passage, donc que la matrice qui fait passer les bases dans l'autre sens est son inverse; est ce que cet argument est simple?

D'après moi ces arguments n'utilisent pas grand chose. Le tiens c'est de parler directement d'inverse à gauche et à droite.

Dite moi si je fais des erreures :cry: .

Merci ^^

[zephira]

Sinon tu peux voir ca comme un systeme d'équation:
Ta matrice est inversible signifie que pour tout y le système d'équation y=Ax a une unique solution:
X=(A-1)Y
Si ta matrice est de rang plein alors cela signifie que tu as autant d'inconnus que d'équations, et donc que tu peux résoudre ton système. Si ta matrice est pas exemple de rang (n-1), cela signifie que tu as deux équations identiques et donc tu ne trouveras pas une unique solution puisque tu as plus de variables que d'équations.