Algèbre linéaire rang et système d'équation niveau 1ere année ingé

[jojolecannard]

bonjour ,
je suis en période de révision , et je bloc sur certaines chose (qui me semble etre du cours :hum: ).
cas générales:
on considere les matrices: *p équations
*n inconnues
*r le rang de la matrice

1) j'ai compris que si n=p=r on une solution unique , il suffit d'appliquer Cramer.
2)n=r

3)mais si p=ntype d'éxos:

on considere 3 plans:
a:x+y-z=1
b:2x+3y+kz=3
c:x+ky+3z=2

on doit déterminer k pour que a,b,c= ensemble vide???

det matrice principale:p(k)=-(k+3)(k-2)

donc k=-3 ou k=2 sont des solution probable( pour qu'il n'y est pas de solution unique vous suivez? :marteau: )

cas1/ si k=-3 :
|11|
|23| =1 donc r=2 pour moi il y a donc des solutions de type droite:x+y-z=1
2x+3y-3z=3
or dans ma correction k=-3 le bonne réponse

cas2/ si k=2 j'ai exactement le meme propable qui est justifier car k=2 n'est pas la bonne réponse mais je sais que ma démarche est fausse.


help help help.

Si vous avez aussi un shema générale a suivre bêtement je suis preneur.j'ai du mal a le faire avec mon
cours.
merci d'avance a ceux qui chercherons.

[jojolecannard]

sniff sniff pas de réponse pour mon petit exos....
Qu'elle est mon erreur? ouiiiiiiin
(juste pour up un peu)

[Judoboy]

Tes calculs de déterminants déconnent j'ai l'impression. Comment tu écris ta matrice ? Comment tu calcules son déterminant ?

Btw t'as souvent des moyens simples de vérifier tes calculs : ici pour k=0 ta matrice est clairement de rang 2 donc de déterminant nul, ce qu'on ne retrouve pas avec ton expression.

[jojolecannard]

Tes calculs de déterminants déconnent j'ai l'impression. Comment tu écris ta matrice ? Comment tu calcules son déterminant ?

Btw t'as souvent des moyens simples de vérifier tes calculs : ici pour k=0 ta matrice est clairement de rang 2 donc de déterminant nul, ce qu'on ne retrouve pas avec ton expression.

ba non j'ai bien vérifier mes calcules ils semblent correcte....

[Judoboy]

ba non j'ai bien vérifier mes calcules ils semblent correcte....

Je me suis planté en recopiant la matrice, en effet, je trouve le même déterminant que toi.

[wserdx]

Bonsoir,
Je trouve aussi que ton déterminant en fonction de k est (au signe près) (k+3)*(k-2)

Si tu veux une méthode "bateau", je te propose l'interprétation suivante:
le rang se voit comme la dimension de l'image du système (sans second membre) lorsque les variables décrivent leur espace de définition.
Le système admet des solutions si le second membre appartient à cette image, et pas de solution dans le cas contraire.
S'il y a des solutions, elles s'expriment comme la somme d'une solution particulière et des éléments du noyau (solution du système avec second membre = 0)

Une autre façon de voir, c'est par l'orthogonal.
Lorsque le rang est plus petit que le nombre d'équations, tu peux trouver des combinaisons linéaires nulles des équations. Si le second membre satisfait ces mêmes relations, il y a des solutions; dans le cas contraire il n'y en a pas.

Dans ton exemple k=-3
L'image du système est de dimension 2, c'est hyperplan orthogonal de 9x'-4y'-z'
Le second membre n'appartient pas à cet hyperplan (système incohérent) il n'y a donc pas de solution.

Dans le cas k=2 le rang est aussi 2, l'image est l'orthogonal de x'-y'-z'
Le second membre est cohérent, il y a donc des solutions (une droite)