Algèbre linéaire probleme noyau et image

[coincoin64]

Bonjour, j'ai donc a faire a un exercice où l'on me demande de déterminer le noyau et l'image de f, je déterminé donc ceux ci , sauf qu'il y a une anomalie avec la concordance du théorème du rang ou dim Imf devrait être égal à 2, or, en déterminant Imf, je trouve trois vecteurs ( donc dimension 3 ce qui dépasserait dim E)
Pourriez vous m'indiquer où est mon erreur?

f : R3 -> R2
(x,y,z) ->(x+y;y+z)

Ker(f) : ensemble des antécédents pour lesquels l'image est nulle

Soit x+ y = 0
y + z = 0

x= -y
z= -y
x= z

Soit ker(f) = Vect(x,y,z) = Vect (-y; y ;-y ) =y(-1 ; 1 ; -1)
Dim ker(f) = 1

Theoreme du rang : Dim ker(f) + dim Im(f) = Dim E
Donc dim Im(f) = 2

Or Im(f) = Vect{ (f(e1) ; f(e2) ; f(e3) }
avec e1 =(1;0;0)
e2 =(0;1;0)
e3 =(0;0;1)

Donc Im(f) = Vect{(1,0) ; (1,1) ; (0,1) }
Or ici, dim Im(f) = 3, d'ou vient l'erreur ? Merci.

[jlb]

Salut, tu n'as pas l'impression que (1;1)=(1;0) + (0;1)!!! Calcule le rang de f à partir de Im(f)!!

[coincoin64]

Effectivement le rang de f est bien 2 et l'on retrouve le bon résultat, merci.