Algèbre linéaire, polynomes

[Jamdaw]

Bonjour ! (Les réponses sont un peu rapides, pour mener rapidement à mon problème, je pense avoir compris le reste, sinon, je me reprendrais). Je souhaiterais avoir vos commentaires et corrections sur un exercice d'algèbre linéaire à faire dont voici une capture.

[url=[url=http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=133678exo1.jpg][/url]

Question 1 L1(a)=L2(b)=L3(c)=1, Tous les autres sont nuls

Question 2 : Soient x1,x2,x3 des réels, x1L1+x2L2+x3L3=0 si x1=x2=x3=0 car L1,L2,L3 ne sont pas toujours nuls sauf dans ce cas.La famille (L1,L2,L3) est libre.

Question 3 : dimR2[X]=3, dim((L1,L2,L3))=3 et (L1,L2,L3) est libre. C'est une base de R2[X]

Question 4: Soient a,b,c des réels. On veut les coordonnées de P dans la base E.
P(X)=x1L1(X) + x2L2(X) + x3L3(X)
base canonique de R2[X]:(1,X,X²)

Je montre que P est linéaire afin de pouvoir écrire la matrice associée.

Soient u=(x,y), u'=(x',y') et µ des réels.
P est linéaire ssi P(X)(u+µu')=uP(X)+µu'P(X)
(là je suis pas très sûre de ce que je fais..)

P(X)(u+µu') = ux1L1(X) + ux2L2(X) + ux3L3(X) + µu'x1L1(X) + µu'x2L2(X) + µu'x3L3(X)
=u(x1L1(X) + x2L2(X) + x3L3(X))+µu'(x1L1(X) + x2L2(X) + x3L3(X) )
=uP(X)+µu'P(X)
P est bien linéaire.

Là non plus je ne suis pas sûre de ce que j'avance.
P est une application de R2[X] dans R2[X]. Mais je me dis que ça peut aussi être juste R[X] puisque quand on remplace X par a,b ou c dans L1, L2,L3, le résultat obtenu est 0 ou 1.. Mais ce sont des valeurs particulières, pour tout X, ça devrait être R2[X] non ?

Bref, je considère que P est une application linéaire de R2[X] dans R2[X], la matrice associée est donc une matrice carrée à 3 lignes, 3 colonnes.

P:(L1,L2,L3) appartenant à R2[X] nous renvoie x1L1(X)+x2L2(X)+x3L3(X)
avec a,b,c des réels on a (d'après la question 1)
xLl1(a)=x1, x2L2(b)=x2 et x3L3(c)=x3, tous les autres sont égaux à 0.
J'écris la matrice telle que [url=[url=http://www.hostingpics.net/viewer.php?id=395027mat2R2X.jpg][/url]

Question 5 : :doh:
On veut que l'intégrale allant de 0 à 1 de P(t)d(t)=;)P(-1)+;)P(0)+;)P(1)
Je pense calculer P(-1)+;)P(0)+;)P(1) et calculer l'intégrale de 0 à 1 de P(t)dt. Puis écrire une égalité entre les deux résultats et trouver ,;),;) par identification.

Merci d'avance pour votre aide

[L.A.]

Bonjour,

je te suis pour les trois premières questions (même si il faudrait plus de précisions comme tu l'as dit). Par contre pour la 4 tu fais d'énormes confusions : P n'est pas du tout une application linéaire, c'est un vecteur, un élément de l'espace vectoriel E (donc un polynôme de degré au plus 2). Il se décompose donc dans la base (L_1,L_2,L_3) sous forme d'une combinaison linéaire

P = x_1L_1+x_2L_2+x_3L_3 (ou P(X) = x_1L_1(X)+x_2L_2(X)+x_3L_3(X))

les coefficients x_i étant des nombres réels (à exprimer en fonction de P). Si tu remplaces X par des valeurs bien choisies sachant ce que tu sais sur les L_i, tu devrais trouver les x_i.

[Jamdaw]

Si tu remplaces X par des valeurs bien choisies sachant ce que tu sais sur les L_i, tu devrais trouver les x_i.

Bonjour ! Effectivement, grosse confusion que tu as soulevée là. Merci ! Mais j'ai remplacé effectivement par les valeurs a, b, c ce qui me donne xLl1(a)=x1, x2L2(b)=x2 et x3L3(c)=x3, ce n'est pas bon ? Il faut obligatoirement des nombres ?
Du coup, la matrice que je trouve est fausse..?

[L.A.]

La réponse ne peut pas être x_1 L_1(a) = x_1, puisque comme tu sais que L_1(a)=1 ça revient à dire x_1=x_1 ce qui ne t'apprend absolument rien. Et encore une fois il n'est pas question de matrice ici puisque P n'est pas linéaire (à moins que tu parles de la matrice de passage d'une base à l'autre, mais elle n'est pas demandée dans l'énoncé et ne ferait que compliquer les choses).

Je te donne un exemple : soit P le polynôme P(X) = 1-X+X^2 (P est donc un vecteur dans E).
Cette expression te donne ses coordonnées dans la base (1,X,X^2) de E : 1,-1 et 1.
Si tu veux passer à une autre base, par exemple (1,X+1,(X+1)^2), tu peux commencer par écrire

P(X) = (x_1)1 + (x_2)(X+1) + (x_3)(X+1)^2

puis chercher à identifier les valeurs de x_1,x_2,x_3. On développe :

P(X) = (x_1+x_2+x_3) + (x_2+2x_3)X + (x_3)X^2 = 1-X+X^2

On trouve ensuite (x_1,x_2,x_3) = (3,-3,1) en résolvant un système.

Ici tu veux passer à la base (L_1,L_2,L_3). Le plus simple est d'écrire un système de trois équations en x_1,x_3,x_3 en remplaçant X par trois valeurs bien choisies.

Tu ne vas pas trouver des "nombres", mais plutôt des expressions qui font intervenir les nombres inconnus a,b,c.