Bonsoir , voilà un autre exercice que j'ai tenté de résoudre, mais je ne suis pas arrivée à trouver de piste pour la question 4. Pour le reste, j'ai essayé, pouvez vous infirmer/confimer mes réponses ?
EXERCICE 2
Soit
On note :
Question 1 : Donner le degré et le coefficient dominant de u pour {0,1,2,...,n} (Attention à k=0...)
Question 2 : Montrer que u est linéaire puis que
Question 3 : Déterminer ker(u), en déduire la dimension de Im(u)
Question 4 : Donner une base de Im(u)
Ma réponse :
1)
Pour k=0 , degré 0, coefficient dominant 1
Pour k=n, degré n, coefficient dominant
2) Montrons que u est linéaire.
Soient P, Q vérifiant et et ,
Calculons u(a P) + u u(Q(X)) [/TEX]?
u( P+Q)
= (P+ Q)(X +1);)(P+Q)(X)
= (P(X +1);)P(X)) + (Q(X +1);)Q(X))
= u(P) + u(Q).
Donc u est une application linéaire.
u u est un endomorphisme image de
Or l'image de est, son antécédant est . Pour que u soit un endomorphisme, il faut . Ce qui est le cas d'après l'énoncé, donc
3) Cherchons le noyau de u, ker(u).
u(P(X)) = 0
P(X+1)-P(X)=0
P(X+1)=P(X)
On aura alors un polynôme constant, donc ker(u)={polynomes constants} il faudrait que je prouve que le polynome solution est constant Et nul ?
D'après le théorème du rang,
or
donc
donc
4) On veut une base de Im(u)
on veut Im(u)=Vect(...)
Dans ces cas là, on doit résoudre l'équation donnée par l'énoncé. Mais je ne vois pas le système équivalent..