Algèbre linéaire : polynômes d'endomorphismes

[Sourire_banane]

Bonsoir,

A partir des hypothèses "f (endo de E de dim n) trigonalisable" et "0 seule valeur propre de f", j'aimerais montrer sans utiliser Cayley-Hamilton (qui n'est pas à mon programme) que f^n=0

Ma stratégie était de montrer que l'on peut trouver un polynôme annulateur de f en X^n, ce qui est immédiat avec C-H en sachant que le polynôme caractéristique de f annule aussi f. Sauf que je ne suis pas censé le savoir...

Merci d'avance.

[Maxmau]

Bonsoir,

A partir des hypothèses "f (endo de E de dim n) trigonalisable" et "0 seule valeur propre de f", j'aimerais montrer sans utiliser Cayley-Hamilton (qui n'est pas à mon programme) que f^n=0

Ma stratégie était de montrer que l'on peut trouver un polynôme annulateur de f en X^n, ce qui est immédiat avec C-H en sachant que le polynôme caractéristique de f annule aussi f. Sauf que je ne suis pas censé le savoir...

Merci d'avance.

Bj
regarde les puissances successives d'une matrice triangulaire à diagonale nulle

[Sourire_banane]

Merci pour ta réponse, Maxmau.

On observe un décalage de la diagonale au fur et à mesure des élévations à la puissance mais je ne vois pas comment le justifier proprement. Par récurrence serait tentant, sauf que la taille de la matrice augmente lors de l'hétédité.

[Maxmau]

Merci pour ta réponse, Maxmau.

On observe un décalage de la diagonale au fur et à mesure des élévations à la puissance mais je ne vois pas comment le justifier proprement. Par récurrence serait tentant, sauf que la taille de la matrice augmente lors de l'hétédité.

Si e1,e2,......,en est la base ds laquelle la matrice est triangulaire ( et donc diagonale nulle), utilise le fait que f(ek+1) est ds vect(e1,e2,.....ek)

[Sourire_banane]

Si e1,e2,......,en est la base ds laquelle la matrice est triangulaire ( et donc diagonale nulle), utilise le fait que f(ek+1) est ds vect(e1,e2,.....ek)

Ok,

Maintenant si j'ai bien saisi je vais composer chaque f(e_i) par f^(n-1) ?

[Ben314]

Merci pour ta réponse, Maxmau.

On observe un décalage de la diagonale au fur et à mesure des élévations à la puissance mais je ne vois pas comment le justifier proprement. Par récurrence serait tentant, sauf que la taille de la matrice augmente lors de l'hétédité.

C'est quoi cette co...ie : toi, quand tu multiplie des matrice, ça augmente leur taille ?

[Sourire_banane]

C'est quoi cette co...ie : toi, quand tu multiplie des matrice, ça augmente leur taille ?

Ben non, mais si tu effectues une récurrence sur n, c'est à la fois la taille de la matrice et la puissance de nilpotence du coup ça marche pas, à moins que j'aie un indice de mauvais mais j'avais la flemme de chercher à comprendre.
Ce soir j'ai la tête dans le fion et je dis que de la merde. Enfin j'ai peut-être trouvé une méthode avec les indices de Maxmau :

Comme f(e_(k+1)) inclu dans Vect(e1, ..., ek), on a pour tout x de E que f^k(x) inclu dans Vect(e1,...,e_(n-k)) donc pour k=n, on a f^n(x)=0 ceci vrai pour tout x de E (en écrivant x sous la forme x1*e1+...x_n*e_n avec (e1,...,e_n) base de E) donc f^n est l'endomorphisme nul.

[Maxmau]

Comme f(e_(k+1)) inclu dans Vect(e1, ..., ek), on a pour tout x de E que f^k(x) inclu dans Vect(e1,...,e_(n-k)) donc pour k=n, on a f^n(x)=0 ceci vrai pour tout x de E (en écrivant x sous la forme x1*e1+...x_n*e_n avec (e1,...,e_n) base de E) donc f^n est l'endomorphisme nul.

OK ........................