Algèbre linéaire et matrice

[lau852]

bonjour a tous,

(a)soit E un R-espace vectoriel de dimension n N montrer qu'il existe un endomorphisme carré -1 seulement et seulement si n est pair
(b)soit E un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. Montrer que si ker(f²+1) est de dimension finie alors cette dimension est paire.
(c) Montrer qu'il existe A Rnxn telle que A² = - I ( I = matrice identité) seulement et seulement si n est paire
soit A , B Rnxn . Supposons que A² = -I . Montrer que A est B sont semblable seulement et seulement si B² = -I.


pour lapremière question je sait pas du tout comment m'y prendre je sait ce qu'est un endomorphisme mair je sait pas comment montrer que s'il est carré alors n est forcément pair et inversement.

[Manny06]

bonjour a tous,

(a)soit E un R-espace vectoriel de dimension n N montrer qu'il existe un endomorphisme carré -1 seulement et seulement si n est pair
(b)soit E un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E. Montrer que si ker(f²+1) est de dimension finie alors cette dimension est paire.
(c) Montrer qu'il existe A Rnxn telle que A² = - I ( I = matrice identité) seulement et seulement si n est paire
soit A , B Rnxn . Supposons que A² = -I . Montrer que A est B sont semblable seulement et seulement si B² = -I.


pour lapremière question je sait pas du tout comment m'y prendre je sait ce qu'est un endomorphisme mair je sait pas comment montrer que s'il est carré alors n est forcément pair et inversement.

peux tu preciser ce que tu veux dire : montrer qu'il existe un endomorphisme carré -1 seulement et seulement si n est pair

[adrien69]

Je suppose que c'était "de carré -id"

Bon comment s'y prendre...

Si u vérifie u²=-id alors le spectre de u dans C est compris dans {-i,i}, mais comme u est un endomorphisme réel, la multiplicité de i comme valeur propre vaut celle de -i, et donc comme u est diagonalisable sur Mn(C), on en déduit que m1=dim(Ker(u-iId))=dim(Ker(u+iId))=m2
Or n =m1 +m2 donc finalement n est pair.

Réciproquement il suffit de décomposer ton espace en somme directe de sous espaces de dimension 2 et de prendre une rotation d'angle Pi/2 sur chacun puis de recoller tout ça en un endomorphisme.

Pour la b) tu restreins f à Ker(f²+Id) et tu appliques a)

Pour la c) bah c'est la a), je ne vois pas la différence

Et pour la dernière, à vue, ça passe bien par une récurrence sur la dimension de l'espace.

[Doraki]

Si n est impair alors det(-I) = -1, donc -I ne peut pas être un carré.
Si n est pair il suffit de construire un exemple d'endomorphisme dont le carré fait -I.

[adrien69]

Si n est impair alors det(-I) = -1, donc -I ne peut pas être un carré.
Si n est pair il suffit de construire un exemple d'endomorphisme dont le carré fait -I.

Ah oui tiens, ça marche aussi ça... XD

[lau852]

peux tu preciser ce que tu veux dire : montrer qu'il existe un endomorphisme carré -1 seulement et seulement si n est pair

excuser moi j'ai oublier de préciser dons l'énoncer il est aussi dit on se permet de désigner abusivement par :lamda: l'endomorphisme :lmda:Ide de E

[lau852]

Je suppose que c'était "de carré -id"

Bon comment s'y prendre...

Si u vérifie u²=-id alors le spectre de u dans C est compris dans {-i,i}, mais comme u est un endomorphisme réel, la multiplicité de i comme valeur propre vaut celle de -i, et donc comme u est diagonalisable sur Mn(C), on en déduit que m1=dim(Ker(u-iId))=dim(Ker(u+iId))=m2
Or n =m1 +m2 donc finalement n est pair.

Réciproquement il suffit de décomposer ton espace en somme directe de sous espaces de dimension 2 et de prendre une rotation d'angle Pi/2 sur chacun puis de recoller tout ça en un endomorphisme.

Pour la b) tu restreins f à Ker(f²+Id) et tu appliques a)

Pour la c) bah c'est la a), je ne vois pas la différence

Et pour la dernière, à vue, ça passe bien par une récurrence sur la dimension de l'espace.

j'ai pas trop compris pourquoi on utilisait les complexe et je ne sait pas ce qu'est le spectre pouvez vous m'éclairez sur ce point.

[adrien69]

Oublie. Regarde le truc de Doraki.

[lau852]

d'accord donc on a def f² = -I ou f est une application linéaire. Mais est ce qu'a partir de ça je peut en conclure que n est forcément paire ?

[adrien69]

d'accord donc on a def f² = -I ou f est une application linéaire. Mais est ce qu'a partir de ça je peut en conclure que n est forcément paire ?

det(f²)=(det(f))²

[lau852]

d'accord j’arrive pas a voir comment faire pour construire l'exemple d'endomorphisme qui est égal a I.

[adrien69]

Tu prends une base (e1,e2,....,e2n) quelconque et tu fabriques f de manière à ce que sur chaque (ei,e{i+1}) ça te donne ce que tu veux.

[lau852]

Tu prends une base (e1,e2,....,e2n) quelconque et tu fabriques f de manière à ce que sur chaque (ei,e{i+1}) ça te donne ce que tu veux.

j'ai essayer de prendre (e1,e2, ... ,e2n ) comme base mais j'arrive pas a fabriquer f.

[Maxmau]

j'ai essayer de prendre (e1,e2, ... ,e2n ) comme base mais j'arrive pas a fabriquer f.

Bj
M la matrice 2x2 dont la première ligne est (0,1) et la seconde ligne (-1,0)
Calcule M² . généralise à une matrice M à 2n lignes et 2n colonnes

[lau852]

Bj
M la matrice 2x2 dont la première ligne est (0,1) et la seconde ligne (-1,0)
Calcule M² . généralise à une matrice M à 2n lignes et 2n colonnes

M² = (-1 0
0 -1 )mais en faite je ne voit pas comment généraliser avec 2n ligne et 2n colones

[Maxmau]

M² = (-1 0
0 -1 )mais en faite je ne voit pas comment généraliser avec 2n ligne et 2n colones

A la place de 1 mets la matrice identité. In

[lau852]

A la place de 1 mets la matrice identité. In

M² = (-1 0 0
0-1
-1 0
0 0 0 -1 )

[Maxmau]

M² = (-1 0 0
0-1
-1 0
0 0 0 -1 )

??
Considère la matrice M à 2n lignes et 2n colonnes composée des 4 blocs nxn suivants:
sur la première ligne le bloc zéro suivi du bloc In (identité)
sur la deuxième ligne le bloc -In suivi du bloc zéro
Calcule M² . conclusion ?

[adrien69]

Je pense que lau852 n'a pas compris un traître-mot de ce qu'on lui a raconté.

[lau852]

Je pense que lau852 n'a pas compris un traître-mot de ce qu'on lui a raconté.

j'ai pas reussit a bien formater le matrice sur le forum j'ai donc publier l'image de ce que j'ai fait par écrit
scan