Algèbre linéaire famille génératrice

par **sarah79** » 12 Avr 2010, 13:04

Voici l'énoncé.

Soient E=K^3={(x,y,z) | x,y,z appartienneent à K}, (e1,e2,e3) la base canonique de E, f1=(2,1,0), f2=(2,0,1), f3=(1,1,1), F le plan d'équation x=2y+2z et G la droite Vect(f3).

(a) Trouver une famille génératrice du plan F.

Je bloque sur cette question je n'ai jamais fais d'exercice où il fallait trouver une famille génératrice a partir d'une équation donnée. Comment faut-il faire?

par **Heure** » 12 Avr 2010, 13:22

Tu cherches en fait 2 vecteurs linéairement indépendant du plan F .
Tu peux en trouver un en le cherchant simplement du type x1,y1,z1
tu sais x1-2y1-2z1=0 ... tu choisi x1 =1 par exemple enfin tu cherches un vecteur du plan^^
Pour le second tu peux faire le produit vectorielle de ce dernier avec le vecteur normal au plan.

par **sarah79** » 12 Avr 2010, 13:27

donc le vecteur(4,1,1) fonctionne mais je ne comprends pas pk il en faut un deuxième et comment le trouver.

par **Heure** » 12 Avr 2010, 13:37

Re re , ben une fois que tu possèdes un vecteur du plan . Ce vecteur va engendrer une droite du plan et non le plan tout entier , du coup il t'en faut un deuxieme non lié avec le premier.

Dans le cadre général une famille génératrice d'un espace de dimension n est de cardinal au moins n .

Avec un vecteur tu as un petit bout du plan pas tout.

par **sarah79** » 14 Avr 2010, 17:00

c'est quoi le vecteur normal au plan? (x,y,z)?

par **Ben314** » 14 Avr 2010, 17:16

Si tu parle du plan d'équation x=2y+2z, ben son vecteur normal c'est surement pas (x,y,z) vu qu'on connait ni x, ni y ni z !!!!

Par contre, si tu réécrit cette équation sous la forme (plus standard)
-x+2y+2z=0, c'est à dire <(x,y,z)|(-1,2,2)>=0 (où <.|.> désigne le produit scalaire) tu voit immédiatement que les vecteurs de ton plan sont trés précisement ceux qui sont orthogonaux à (-1,2,2)...

par **sarah79** » 14 Avr 2010, 17:23

oui je vois bien que les vecteurs du plan sont ceux qui sont orthogonaux à (-1,2,2)... Mais je ne sais pas comment faire pour trouver l'autre vecteur qui va me donné ma famille génératrice. Je ne sais pas faire le produit vectorielle avec le vecteur normal comme on m'a dit de le faire plus haut.

par **xyz1975** » 15 Avr 2010, 10:08

En fait tu veux chercher une partie génératrice du sous espace vectoriel :

F={

appartient R^3 :

}

On injecte la relation définissant F (c'est à dir la plan dans notre cas) dans le triplet

afin de dégager deux vecteurs engeandrant F.

Tu es d'accord avec moi que :

F={

réels}

F={

réels}

où

et

qu'on peut aussi écrire :

et

Il est clair que {

;

} est une partie génératrice de F.

si tu veux maintenant montrer que c'est une base de F il faut rajouter l'indépendance.

par **xyz1975** » 15 Avr 2010, 10:20