Algèbre Linéaire (auto-adjoint)

[crashray]

Bonjour,
Je suis actuellement étudiant à Cork (Irlande) et j'ai un exercice d'algèbre linéaire que je n'arrive pas.
La version française traduite par mes soins donc pas sûre :

Prenez A (appartient) Mn(C) (Complex).
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) A=C*C pour certains C (appartient) Mn(C)
(ii) >= 0 pour tout u (appartient) C^n
(iii) A est auto-adjoint et a une valeur propre non négative
(iv) A=B^2 pour certaines auto-adjoint matrix B (appartient) Mn(C), on peut assumer qu'il a la valeur propre non négatives.

Voilà la version anglaise :

Let A (appartient) Mn(C) (Complex).
Show that the following properties are equivalent :
(i) A=C*C for some C (appartient) Mn(C)
(ii) >= 0 for all u (appartient) C^n
(iii) A is self-adjoint and has nonnegative eigenvalues
(iv) A=B^2 for some self-adjoint matrix B (appartient) Mn(C), which can be assumed to have nonnegative eigenvalues.

Voilà la définition de self-adjoint sur wikipedia
Si certains peuvent m'aider.
J'avoue c'est un dm à rendre pour demain que j'ai inversé (oublie de l'agenda en Irlande) avec un autre à rendre pour la semaine prochaine (que j'ai fini lui)
Honte à moi :briques:

[fahr451]

il faut faire i=>ii=>iii=>iv=>i

[crashray]

il faut faire i=>ii=>iii=>iv=>i

Mais on peut faire aussi iv => iii => ii =>i =>iv non ?

[fahr451]

en fait pas de difficulté ds l'ordre que je propose alors que ii=>i plus embètant mais ça se vaut

qu as tu réussi à faire?

[crashray]

les points délicats à mon avis sont ii =>iii pour le sens que je propose

et ii=>i pour celui que tu proposes

mais ii=>iii est plus simple que ii=>i pour moi

Ok, je vais essayer de réfléchir aux autres pour l'instant :
i=>ii
iii=>iv
iv=>i

[fahr451]

une simple précision le produit scalaire est linéaire à gauche ou à droite pour toi ?

[jose_latino]

Prenez A (appartient) Mn(C) (Complex).
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) A=C*C pour certains C (appartient) Mn(C)
(ii) >= 0 pour tout u (appartient) C^n
(iii) A est auto-adjoint et a tous ses valeurs propres non négatives (corriger la traduction)
(iv) A=B^2 pour certaines auto-adjoint matrix B (appartient) Mn(C), on peut supposer qu'il a la valeur propre non négatives.

Pas de honte! :zen:
Je te donnerai quelques idées:
i) ->ii) Utilise que
ii)->iii) Utilise que , et ii) pour déterminer que les valeurs propres sont non négatives.
iii)->iv) Par iii) la matrice est diagonalisable et tous les autovaleurs sont non négatives, donc , où D es diagonale, consider , où est unitaire (grâce à que es autoadjointe) et est comme mais dans la diagonale, on prend les racines carrées.
iv)->i) C'est clair :we:

[jose_latino]

Prenez A (appartient) Mn(C) (Complex).
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) A=C*C pour certains C (appartient) Mn(C)
(ii) >= 0 pour tout u (appartient) C^n
(iii) A est auto-adjoint et a tous ses valeurs propres non négatives (corriger la traduction)
(iv) A=B^2 pour certaines auto-adjoint matrix B (appartient) Mn(C), on peut supposer qu'il a la valeur propre non négatives.

Pas de honte! :zen:
Je te donnerai quelques idées:
i) ->ii) Utilise que
ii)->iii) Utilise que , et ii) pour déterminer que les valeurs propres sont non négatives.
iii)->iv) Par iii) la matrice est diagonalisable et tous les autovaleurs sont non négatives, donc , où est unitaire (grâce à que es autoadjointe) et es diagonale, consider , est comme mais dans la diagonale, on prend les racines carrées.
iv)->i) C'est clair :we:

[crashray]

Pas de honte! :zen:
Je te donnerai quelques idées:
i) ->ii) Utilise que

Je vois pas, on essaye d'avoir ? as-t'on ?

ii)->iii) Utilise que , et ii) pour déterminer que les valeurs propres sont non négatives.

Je vois pas du tout :doh:

iii)->iv) Par iii) la matrice est diagonalisable et tous les autovaleurs sont non négatives, donc , où est unitaire (grâce à que es autoadjointe) et es diagonale, consider , est comme mais dans la diagonale, on prend les racines carrées.

car et c'est fini ?

iv)->i) C'est clair :we:

On choisit C=B et c'est fini, c'est ça ?

[fahr451]

i=>ii on suppose A = C*C

alors (Au/u) = (C*Cu/u) = (Cu/Cu) = ll Cull^2 réel positif

[crashray]

i=>ii on suppose A = C*C

alors (Au/u) = (C*Cu/u) = (Cu/Cu) = ll Cull^2 réel positif

Ok, ça marche parfaitement, biensur c'est pareil si on fait :
(u/Au) = (u/C*Cu) = (Cu/Cu) = ll Cu ll^2

Edit : je vois vraiment pas le (ii)=>(iii)

Sinon j'ai un autre exo, c'est :

Let V be a vector space and T (appartient) L(V). Show the following:
(i) ker T^n = ker T^n (intersection) im T^n = {0}
If, in addition, V is finite dimensional, deduce that ker T^n = ker T^(n+1) if and only if im T^n = im T^(n+1), and explain why these equalities must hold for some n (appartient) lN.
When they do hold, show that V = ker T^n (somme direct) im T^n
Find the smallest n for which ker T^n = ker T^(n+1), and determine ker T^n and im T^n when V=lR^3 and T(x,y,z)=(5x,z,0)

Le (i) ça va je pense en utilisant la def de ker et le fait que T^(n+1) = T(T^n)
Et après que x dans ker T^n donc T^n x = 0 donc T^n+1(x) = donc x dans ker T^(n+1)

MAis les autres :marteau:

[jose_latino]

Je viens de remarquer que pour ii) il manque quelque chose car c'est possible avoir , cependant peut ne pas être autoadjointe (en fait, on peut ajouter une matrice antiautoadjoint et l'inégalité s'accomplira encore)

[jose_latino]

Je vois pas du tout :doh:

Quand j'ai écrit M je parlais d'une matrice quelconque, il faut prendre la bonne. est le vecteur canonique.

car et c'est fini ?

Oui, c'est ça et D'^2=D

On choisit C=B et c'est fini, c'est ça ?

Oui, c'est ça

[jose_latino]

Pour la partie des vecteurs propres de iii) , est-ce que tu as essayé avec u vecteur propre de A dans ii)????

[crashray]

le (ii) -> (iii) je vois pas.
Voilà la traduction pour l'autre exo :

Prenons V un espace vectoriel et T (appartient) L(V). Montrer les choses suivantes :
(i) ker T^n = ker T^n (intersection) im T^n = {0}
Si, en plus, V est de dimension fini, déduire que ker T^n = ker T^(n+1) ssi im T^n = im T^(n+1), et expliquer pourquoi ces égalités doivent rester pour n'importe quelle n (appartient) lN.
Quand c'est fait, montrer que V = ker T^n (somme direct) im T^n
Trouver le plus petit n tel que ker T^n = ker T^(n+1), et determiné ker T^n et im T^n quand V=lR^3 et T(x,y,z)=(5x,z,0)

et en VO

Let V be a vector space and T (appartient) L(V). Show the following:
(i) ker T^n = ker T^n (intersection) im T^n = {0}
If, in addition, V is finite dimensional, deduce that ker T^n = ker T^(n+1) if and only if im T^n = im T^(n+1), and explain why these equalities must hold for some n (appartient) lN.
When they do hold, show that V = ker T^n (somme direct) im T^n
Find the smallest n for which ker T^n = ker T^(n+1), and determine ker T^n and im T^n when V=lR^3 and T(x,y,z)=(5x,z,0)

[jose_latino]

le (ii) -> (iii) je vois pas.

Je viens de te dire que l'ennoncé n'est pas complète, il manque quelque chose. Contre-exemple?, A=, il accomplit ii) mais il n'accomplit pas iii)

[crashray]

Je viens de te dire que l'ennoncé n'est pas complète, il manque quelque chose. Contre-exemple?, A=, il accomplit ii) mais il n'accomplit pas iii)

Donc son exo est faux ? ça s'est cool :zen:

Sinon pour l'autre exo si vous avez un peu d'aide ça m'aiderais

[jose_latino]

Tiens un ennoncé correct:
Prenez .
Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
(i) pour certains
(ii) et pour tous
(iii) A est auto-adjoint et a tous ses valeurs propres non négatives (corriger la traduction)
(iv) pour certaines auto-adjoint matrix , on peut supposer qu'il a la valeur propre non négatives.