Algèbre linaire

[Frandom94]

Bonsoir à toutes et à tous,

Mon cours d'algèbre linéaire n'est pas bien clair quant aux méthodes à utiliser. C'est pour cela que je m'adresse à vous.

Pour trouver le rang d'une famille de vecteurs , on suppose l'existence d'une famille de scalaires telle que l'on ait : . J'en déduis alors un système d'équations linéaires, et c'est là que j'aimerais savoir si la démarche est correcte.

Le rang de la famille considérée est le nombre d'équations différentes que le système comporte, en dehors de l'égalité triviale : 0=0.

Prenons un petit exemple.

On considère la famille de vecteurs de suivante : U=(1,1,3), V=(1,2,5), W=(1,-1,-1). On considère trois scalaires a,b et c tels que et on résout le système associé. On trouve alors deux équations : et . Le rang du système est donc 2. On en déduit au passage une relation de dépendance linéaire, à savoir , en prenant par exemple .

Ainsi, il est clair que (U,V) est une base de Vect(U,V,W). Mais il est également vrai de dire que (V,W) et (U,W) sont des bases de cet espace vectoriel, n'est-ce pas ?

Merci bien et bonne soirée !

[L.A.]

Bonjour,

Il est clair que (U,V), (V,W), (U,W) sont trois familles libres, puisque les coordonnées de U et V ne sont pas proportionnelles, idem pour V et W, et pour U et W (c'est un critère simple pour une famille de 2 vecteurs).
En revanche, la famille (U,V,W) n'est pas libre comme tu l'as montré.
Elle est par conséquent de rang 2 (elle engendre un espace vectoriel de dimension 2).

[Frandom94]

Bonsoir et merci à toi !

Ton message me surprend car il ne me semble pas avoir montré que la famile (U,V,W) était libre.

Et pour ce qui est de la méthode que je présente pour trouver le rang, est-ce correct ?

Frandom

[L.A.]

Je voulais dire, la famille n'est pas libre, et tu l'as montré.
Donc, son rang est strictement inférieur à 3.
Et elle contient des sous familles libres à deux vecteurs, donc son rang est au moins égal à 2.