SVP aidez moi à le résoudre :hum:
Soit L une algèbre de Lie semi complexe de dimension finie, Soit H une sous algèbre de Cartan et W le groupe de Weyl.
a) Montrer que pour tout w (appartient) W il existe un automorphisme
de L tel que (h)=w(h) pour tout h e H.b) On fixe w et
comme dans la question précédente.Soit un poids dominant et S(;)) un L-module simple de poids . On fait agir L sur le même espace vectoriel S(;)) par x * v=;)(x)v.Montrer qu'on définit un L-module simple S'. Quels sont les poids de H dans S'?
c) Montrer que les L-modules S' et S(;)) sont isomorphes (utiliser que l'ensemble des poids d'un module simple de dimension finie est invariant par W ). En déduire que pour tout w (appartient) W et tout poids µ on a dim S(;))µ=dim S(;))w(µ)