Algèbre de lie et représentation

par **cjordan** » 02 Oct 2010, 18:24

Bonjour a tous,

voila j'ai besoin de calculer la forme de killing de so(3) mais je n'y arrive pas.

Je comprend pas trop comment faire, d'ailleur j'ai meme un souci pour le calcul de la représentation adjointe je crois!

Si quelqu'un pouvais me dire en quelque mots la marche a suivre je lui en serais trés reconnaisant car bon nombre d'exercice dépendent de cela !

par **Doraki** » 02 Oct 2010, 18:57

Tu comprends pas comment faire quoi ?

Tu as une base de l'algèbre de Lie so(3) ?
Tu sais calculer le crochet dessus ?

par **cjordan** » 02 Oct 2010, 19:01

salut,

oui j'ai une base, la base canonique aprés je comprend pas comment on fait pour trouver la représentation adjointe.

Par exemple pour adX, je sais que adX (Y) = [X,Y] etc... avec {X,Y Z} ma base.
mais voila je fais adX(X)=... adX(Y)=... adX(Z)=... et a la fin je trouve adX=X !!

Bref il y a un truc que je ne comprend pas.

par **Doraki** » 02 Oct 2010, 19:09

Tu trouves que la matrice de adj(X) est la même matrice que X ?
Evite de dire que adj(X) = X vu que ce sont des applications linéaires sur des ensembles différents.

Pourquoi ça devrait te gêner que les matrices se ressemblent un peu ?

par **cjordan** » 02 Oct 2010, 19:18

ben le truc c'est que c'est exactement les méme et pareil pour y ..

Donc quand je calcul ma forme de killing je trouve 0 ! ce qui m'ennui un peu car je sais que c'est faux !

En gros,

Soit {X,Y,Z} ma base de so(3) ce sont des matrice 3*3 antisymétrique avec des 1 et des -1.

Pour calculer adx , je l'applique sur chaqun de mes "vecteur" de ma base soit
adX (X)=0, adX(Y)=Z et adX(Z)=-Y

Donc la matrice qui représente adX sera (0 0 0)
******************************(0 0 -1)
******************************(0 1 0)

Est ce juste ? car cela n'est rien d'autre que ma matrice X !

par **Doraki** » 02 Oct 2010, 19:24

Ca ne me paraît pas faux.
Mais je vois pas comment tu trouves 0 pour la forme de Killing.

Pour Tr(ad(X)°ad(X)), moi j'ai -2.

par **cjordan** » 02 Oct 2010, 19:31

ok bon c'est déja ça j'arrive a calculer la représentation adjointe ^^

Maintenant, concernant la forme de killing,

Je suis d'accord avec toi Tr(adX adX) = -2 mais moi dans mon énoncé j'avais

K(X1,X2)=Tr(adX1 adX2) du coup ce que j'ai fait c'est que j'ai pris les représentation adjointe de X et de Y et la on trouve bien K=0.

En gros comment fait t'on pour calculer la forme de killing ?

par **Doraki** » 02 Oct 2010, 19:33

Bah tu calcules K(X,X), K(X,Y), K(X,Z), K(Y,Y), K(Y,Z), et K(Z,Z) ?
Et les 3 derniers sont pas importants vu que la forme est symétrique.

par **cjordan** » 02 Oct 2010, 19:39

Ok et a la fin j'ai donc une matrice K d'accord ?

Mais la forme de killing c'est un nombre réel ou complexe donc je fait quoi ? je prend la trace de ma matrice K ?

par **Doraki** » 02 Oct 2010, 19:58

La forme de Killing c'est la forme bilinéaire symétrique K.

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