Algèbre : Indice de sous-groupe

[saraheve832]

Bonjour,

J'ai une question dans mon devoir d'algèbre et j'ai beau travaillé dessus autant que possible je n'y arrive pas. Voici la question :


Supposons que [G : H] = n < ;) et [G : K] = m < ;) avec pgcd(n,m) = 1. Montrer que :

[G : H ;) K] = [G : H] · [G : K].

J'ai essayé en utilisant le fait que comme H ;) K est un sous-groupe de H et un sous groupe de K qui sont eux même sous-groupes de G, alors on peut écrire

[G : K][K : H ;) K] = [G : H ;) K]
Et
[G : H][H : H ;) K] = [G : H ;) K]

Et donc

[G : H][G : K] = [G : H ;) K][G : H ;) K]/ [K : H ;) K][H : H ;) K]


Donc j'imagine que je vais devoir montré que [K : H ;) K][H : H ;) K] = [G : H ;) K] et comme ça j'aurai bien ce que je voulais, mais je n'arrive pas du tout à y arriver.

Si vous avez des idées merci d'avance

[Ben314]

Salut,
Les deux relations que tu donnent disent que n=[G:H] et m=[G:K] divisent tout les deux [G : H K] et, comme ils sont supposés premiers entre eux, cela prouve que nm divise [G : H K].

Pour la "réciproque", montre que est bien définie et injective : ça te prouvera que et donc que

[saraheve832]

Merci beaucoup! Je venais JUSTE de trouver la réponse à peu près il y a 5 minutes xD

Je me trouve un peu stupide en ce moment car j'ai cherché VRAIMENT trop loin et c'était pas si compliqué en fait bravo moi! :--: :--: