Algèbre extérieure

[David R.]

Bonjour,

Je dois résoudre le problème suivant:
Soit une base de l'espace vectoriel et la base duale de l'espace vectoriel dual . Pour tout vecteur , on définit l'opérateur par la règle . Montrer que si et seulement si les vecteurs sont linéairement dépendants.

Je crois qu'il faut commencer par réécrire l'expression sous cette forme :
, où la somme est prise sur toutes les possibilités de . Pourtant, il n'est pas clair que chaque terme soit égal à 0, puisqu'ils pourraient s'annuler les uns les autres. Aussi, mon intuition me laisse croire que les vecteurs linéairement dépendants pourraient être parmi . Si quelqu'un pouvait m'éclairer, ce serait gentil. =)

David

[Robot]

Si , pour

. A partir de là c'est simple, non ?

[David R.]

L'égalité est directement la définition de la composition des fonctions, oui, mais pourquoi ce terme égal 0 si et seulement si les vecteurs sont dépendants?

[Ben314]

Le fait que signifie que le truc en question est nul quelque soit , quelque soit et quelque soient les vecteurs .

Tu ne vois pas des cas particulier où ça implique immédiatement le résultat ?

[David R.]

J'imagine que je devrais m'intéresser au cas où et les vecteurs ne sont pas dans le sous-espace vectoriel engendré par ?

[Ben314]

C'est une méthode : on suppose (v1,v2,...,vm) libre, qu'on complète en une base de E et on prend .
Sinon, pourquoi ne pas prendre ?

[David R.]

C'est une méthode : on suppose (v1,v2,...,vm) libre, qu'on complète en une base de E et on prend .
Sinon, pourquoi ne pas prendre ?

J'imagine que sont linéairement dépendants? Mais pour moi, ce résultat n'est pas très clair. Je crois que c'est parce que je ne visualise pas très bien ce que le produit extérieur représente. La seule "belle" forme que je connais pour réécrire est celle que j'ai écrit dans mon premier message, soit (dans le cas où ),

, où la somme est prise sur toutes les possibilités de . Pourtant, il n'est pas clair pour moi que si la somme est 0, chaque terme est 0 (est-ce même le cas?).

Édit : Comme tu me l'as dit, on peut prendre n'importe quel ; pourquoi ne pas prendre (c'est bien dans ?), de telle sorte que . On en déduit la dépendance linéaire. Cela montrerait une des deux implications.

[mathelot]

J'imagine que sont linéairement dépendants? Mais pour moi, ce résultat n'est pas très clair. Je crois que c'est parce que je ne visualise pas très bien ce que le produit extérieur représente. La seule "belle" forme que je connais pour réécrire est celle que j'ai écrit dans mon premier message, soit (dans le cas où ),

, où la somme est prise sur toutes les possibilités de . Pourtant, il n'est pas clair pour moi que si la somme est 0, chaque terme est 0 (est-ce même le cas?).

le déterminant de n vecteurs (dim E=n) est le volume du polyèdre construit sur ces n vecteurs
en u.v (unité de volume)

[Robot]

J'imagine que sont linéairement dépendants? Mais pour moi, ce résultat n'est pas très clair. Je crois que c'est parce que je ne visualise pas très bien ce que le produit extérieur représente. La seule "belle" forme que je connais pour réécrire est celle que j'ai écrit dans mon premier message, soit (dans le cas où ),

, où la somme est prise sur toutes les possibilités de . Pourtant, il n'est pas clair pour moi que si la somme est 0, chaque terme est 0 (est-ce même le cas?).

Édit : Comme tu me l'as dit, on peut prendre n'importe quel ; pourquoi ne pas prendre (c'est bien dans ?), de telle sorte que . On en déduit la dépendance linéaire. Cela montrerait une des deux implications.

Il me semble qu'il y a une confusion dans ce que tu écris. Tu écris comme un élément de la puissance extérieure -ème de l'espace vectoriel , alors qu'il s'agit visiblement d'une forme -linéaire alternée sur , autrement dit un élément de la puissance extérieure -ème du dual de . Tes difficultés de compréhension viennent peut-être de là.