Algebre : Espace prehilbertion

[oumou]

Bonsoir ,
je ne suis pas vraiment sure de mes reponses donc si vous pouvez m aide ce serait genial !!!

Soit f une forme bilineaire definie par : < P,Q > = P(t) Q(t) dt sur [0,1]
on considere le polynome Po = X^ 3 sur R[X] .

1.> calculer la projection orthogonale de Po sur R2[X] puis montre et calculer que
min ( X^3 - a X^2 -bX - c )^2 dx sur [0,1]
ou (a,b,c) R3 [X] se ramene au calculer de
min { ou y R2 [X]

2.> determiner enfin un polynome de R2[X] qui est orthogonal a Po .

1.> tout d abord , je contruis une base orthonorme de R2[X] a la base (1,X,X^2) dont je trouve cette base
( ` 1 = 1 ; ` 2 = ( X- 1/2) ; `3 = (X^2 -1/3 )

ensuite , je determine la projection P(Po) = 1/4 + (X-1/2)9/10 + (X^2 - X+1/6) 3/2

min ( X^3 - a X^2 -bX - c )^2 =
min ( X^3 - a X^2 -bX - c ) ^2 = y - Po ^2 =
Po - y ^2 =
( X^3 - a X^2 -bX - c )^2 dX=
Par identification ( X^3 - 3/2 X^2 + 3/5 X - 1/20 )^2 dX = - 9,891

2.> < Po , aX^2 + bX +C > = 0 cette idee me passe par la tete mais au final ca m amene rien

Merci d avance

[Robot]

Pour résoudre le 1) , c'était sans doute plus léger de chercher tel que soit orthogonal à , et .
(Le projeté orthogonal de sur est caractérisé par le fait qu'il appartient à et que est orthogonal à ).

Et pour le trouvé, on vérifie sans peine que est minimum (Pythagore !)

Pour le 2), creuse ton idée en démontrant qu'un élément de est orthogonal à si et seulement s'il est orthogonal à .

[oumou]

1) comment c est possible ? on n est pas censee passer par la methode de Gram-schmidt

2) je trouve que a = -6/5 b - 3/2 c

[Robot]

1) Pourquoi tiens-tu à passer par Gram-Schmidt ? Il n'y a aucune obligation.
Ce que je te propose se ramène immédiatement à la résolution d'un système linéaire de trois équations à trois inconnues. Pourquoi n'essaies-tu pas ?
2) Oui et alors ? Quel est le problème ?

[oumou]

1) okay , j y ferais
2) le probleme est que j`en ai pas une seconde equation pour determiner les valeur de b et c

[zygomatique]

1) comment c est possible ? on n est pas censee passer par la methode de Gram-schmidt

2) je trouve que a = -6/5 b - 3/2 c

2/ et si tu raisonnais en terme de dimension ?

[oumou]

2) j aurais deux vecteur mais apres lequel choisir ? vus qu on me demande qu un polynome de R2[x]

plus detail sur vos reponse SVP .....

[Robot]

plus detail sur vos reponse SVP .....

Il ne t'est pas interdit de réfléchir.
Tu n'as pas que le choix entre deux vecteurs ... tu as le choix dans tout un sous-espace de dimension 2 de . Et si on te demande juste un polynôme orthogonal à , il y a même une réponse facile et passe-partout : le polynôme nul !

[oumou]

Merci infiniment , si non j essaye un peu de suivre votre idee , pour la resolution je trouve ceci
b = 19/20 - 31/30 a
c= -9/40 + 31/30 a

je ne crois pas avoir la meme projection

[Robot]

La résolution de quoi ???
Tu devrais t'exprimer plus précisément. Clarté et précision sont indispensables en mathématiques.

[oumou]

lol , la resolution du ce systeme :

< 1 , X^3 - ( aX^2 + bX + c) > = 0
< X , X^3 - ( aX^2 + bX + c) > = 0
< X^2 , X^3 - ( aX^2 + bX + c) > = 0

d ou P ( Po) = aX^2 + (19/20 - 31/30 a ) X +( - 9/40 + 31/30 a ) n est ce pas ? comment eliminer alors dans ce cas le ''a '' ?

[Robot]

Tu devrais reprendre la résolution du système : tu t'es trompé.

[oumou]

ah ouaii ....... j ai repris la voici :
a = a
b = 9/10 - a
c = 7/40 - 3/20 a

[Robot]

Toujours pas. Le système est de Cramer, il a une solution unique.

[oumou]

systeme de cramer !! c est quel genre de systeme ???

[Robot]

Un système de équations linéaires à inconnues est dit de Cramer quand il a une solution unique.
Tu as des difficultés pour résoudre proprement ce système de 3 équations à 3 inconnues ?

[oumou]

sans vouloir abuser de votre gentillesse et de votre temps , je m aimerais avoir votre avis sur une autre question si cela ne vous derange pas biensur ( je suis a j - 5 des mes examens finaux du coup je stress a fond ... mdr ) bref la voici :

soit f= vect ( (1,2,2) , (1,3,1) ) et Projetion f + Projection f orthogonal = Id R3

determiner d ( x, f) = min x - y , pour x R3 et y f puis montre que S f (x) ^ 2 = x ^2 ( euhh S est la symetrie de f .....)

je dis que d ( x, f ) = min Projection f orthogonal ( on utilisons la relation donnee )

or la Projection de f orthogonal est

1/9 x + 2/9 y + 2/9 z
2/9 x + 17/18 y - 1/18 z
2/9 x - 1/18 y + 17/18 z


apres je ne sais pas comment calculer la norme d une matrice quant a la sous question j en ai aucun idee

[Robot]

Tu renonces à la résolution du système ?

je dis que d ( x, f ) = min Projection f orthogonal ( on utilisons la relation donnee )

Qu'est-ce que ça veut dire ?
La distance de à est la norme euclidienne de , où est la projection orthogonale sur .

[oumou]

oui , mais je ne vois pas la ou vous voulez en venir par la !!!

[Robot]

C'est la réponse à la question de ton exercice, tout simplement.

Et pour la démonstration de cette affirmation, je t'ai déjà donné l'idée. Utiliser
- la caractérisation de par les propriétés suivantes :
1)
2) est orthogonal à
- et le théorème de Pythagore (si est orthogonal à , ),
pour montrer que .