Algèbre des matrices

[bentaarito]

quelqu'un aura-t-il l'amabilité de m'aider à montrer que toute matrice de déterminant égal à 1 est produit d'un nombre fini de transvections?( i.e:les matrices de transvection engendrent le groupe spécial linéaire.) :lol3:

[bentaarito]

pas de réponses? :cry:

[arnaud32]

ca fait quoi de de multiplier une matrice par une matrice de transvection?
et quelle est son inverse?

[Ben314]

Salut :
Si tu réfléchi un peu, tu constatera que cet énoncé dit que... la méthode du pivot de gauss marche... (il faut seulement montrer que d'échanger des lignes en en changeant une de signe ou bien multiplier une ligne par lambda et en diviser une autre par lambda s'obtient à l'aide de transvections, ce qui est assez simple)

[bentaarito]

Salut :
Si tu réfléchi un peu, tu constatera que cet énoncé dit que... la méthode du pivot de gauss marche... (il faut seulement montrer que d'échanger des lignes en en changeant une de signe ou bien multiplier une ligne par lambda et en diviser une autre par lambda s'obtient à l'aide de transvections, ce qui est assez simple)

oui c exactement ça: comment traduire la multiplication d une ligne par un scalaire par une multiplication par une matrice de transvection?? je pense que c impossible, car on peut juste faire l ajout des lignes ou des colonnes avec les transvections ,non? :hein:

[Ben314]

Multiplier UNE SEULE ligne en faisaint des produits de tranvexions, tu ne peut effectivement pas y arriver vu que, comme les transvections ont un déterminant égal à 1, le multiplication par une transvection laisse le déterminant invariant.

Par contre il est possible (comme je te l'ai dit dans le premier post) de multiplier une ligne par lambda ET d'en diviser une autre par lambda...

[bentaarito]

Multiplier UNE SEULE ligne en faisaint des produits de tranvexions, tu ne peut effectivement pas y arriver vu que, comme les transvections ont un déterminant égal à 1, le multiplication par une transvection laisse le déterminant invariant.

Par contre il est possible (comme je te l'ai dit dans le premier post) de multiplier une ligne par lambda ET d'en diviser une autre par lambda...

je vois vraiment pas: par exemple prenons la matrice et disons qu'on veut multiplier la ligne 1 et diviser la 2 par 3; on fait comment, :hum:

[Ben314]

Bon, si partant de deux lignes Li et Lj et d'un scalaire lambda ,non nul tu fait les opérations suivantes (correspondant à des multiplications à gauche par des transvections) :
a) Li <- Li + lambda.Lj
b) Lj <- Lj - (1/lambda).Li
c) Li <- Li + lambda.Lj
Ca te donne quoi au final ?
Et si tu recommence une deuxième fois en prenant lambda=-1, c'est quoi le résultat ?

[bentaarito]

Bon, si partant de deux lignes Li et Lj et d'un scalaire lambda ,non nul tu fait les opérations suivantes (correspondant à des multiplications à gauche par des transvections) :
a) Li <- Li + lambda.Lj
b) Lj <- Lj - (1/lambda).Li
c) Li <- Li + lambda.Lj
Ca te donne quoi au final ?
Et si tu recommence une deuxième fois en prenant lambda=-1, c'est quoi le résultat ?

pour lambda=-1, et aprés un seul tour j ai obtenu:

[Ben314]

Bon, bon, bon...

[bentaarito]

Bon, bon, bon...

ah d'accord! j me suis gouré un peu dans le calcul!! mais quand même c'est un peu tiré par les cheveux cet algorithme vicieux. merci en tout cas .