Algèbre: Démontrer qu'une famille est une base

[Takuma]

Bonjour,

Je me vois dans l'obligation de faire appel à vous car là, c'est la catastrophe...
Je vous explique, dans mon exercice, j'ai l'application: qui va donc de dans avec P un polynôme.

Je devais montrer que cette application était linéaire etc... Je l'ai fait, cependant je bloque sur cette question :

Pour tout i compris entre 0 et n, on définit sur les formes linéaires et je dois démontrer que la famille est une base de .

J'ai pensé pouvoir le démontrer en montrait que est libre avec ce qui démontrerait que et donc que c'est une base... Mais sans succès.
Est-ce que quelqu'un pourrait me mettre sur la bonne piste ?

Merci d'avance.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Je pense que tu as réalisé que le nombre d'éléments de est égal à la dimension de . Il suffit donc de démontrer que la famille est libre.
Ou alors, il suffit de montrer qu'elle est génératrice.
Tu choisis quelle voie ?

[Takuma]

D'abord, merci de ta réponse.

Je l'ai remarqué effectivement. D'ailleurs je remarque une erreur dans mon premier message, je dois démontrer que le rang (et non le cardinal) de B est égal à n.

J'ai essayé d'appliquer directement la définition, mais avec une dimension qui n'est pas déterminée, je ne vois pas trop comment faire...

Soit , dire que est une libre revient à dire que : .
Donc je cherche les lambdas pour :

Mais arrivé à ce stade je suis encore et toujours coincé, je ne vois pas comment aller plus loin, Je suis censé écrire les polynômes pour essayer de remarquer quelque chose ? (Car je l'ai fait et je n'ai rien remarqué, mais je suis probablement passé à côté comme toujours...)

[GaBuZoMeu]

Euh... tu te mélanges les pinceaux de 0 à compris, ça fait et pas .

Ensuite, tu es trop léger sur les quantificateurs. , ça revient à dire que :
POUR TOUT POLYNÔME , .

À toi de choisir les bons polynômes pour en déduire que tous les sont nuls.

[Takuma]

Oh... D'accord merci !
Bon bah du coup j'ai réussi et tu m'as même mis sur la piste pour la question suivante...

Mes questions étaient sûrement bêtes, mais on a les exos sans le cours donc on doit tout apprendre par nous même, et c'est pas spécialement facile...

Merci beaucoup !

[GaBuZoMeu]

Parfait, avec plaisir !