Algèbre - Débutant...

[Gyouji23]

Bonjour,
Voilà je n'ai jamais vraiment fait d'algèbre linéaire auparavant, donc je suis débutant.
Je viens de passer des heures sur ma théorie, j'ai bien retenu la plupart des notions mais dès que je suis confronté à un exercice je suis perdu, je ne vois pas par où commencer.

Voilà l'exercice:

Dire si les ensembles suivants sont stables pour la multiplication (loi de composition):

A={n;)Z|;)k, l;)Z tels que n=k2;)l2}.

C={n;)Z|n=4k+1, k;)Z}.

(le "Z" est l'ensemble des entiers relatifs)

Est-ce que quelqu'un aurait la gentillesse de m'aider?


Merci vraiment beaucoup

[Bimbooo]

Il faut vérifier si A est stable par multiplication ? Et si C l'est ? Si c'est ça la question est : si je multiplie entre eux deux éléments de A, le résultat est-il dans A ?
Au fait k2 c'est k au carré ?

[Gyouji23]

Oui c'est ça, c'est bien la définition de "être stable" que je viens d'apprendre!
Et k2 c'est bien k au carré, désolé pour l'écriture...

[Bimbooo]

C'est pas grave
Alors si j'ai dans et dans par exemple, il existe l tel que , et il existe tel que , alors soient de tels et .
.
On pose , est bien un entier relatif, et est bien dans .

[Gyouji23]

En gros, mon problème, c'est de savoir quoi multiplier, comment le faire, et comment savoir si le résultat est dans A? Une petite aide serait vraiment la bienvenue.

[Gyouji23]

Merci beaucoup c'est super!!! Je te remercie vraiment!

[Bimbooo]

pas de souci, tu as tout compris ? Tu as fait l'autre ?

[Gyouji23]

Je bloque encore sur l'autre... mais je me pose une question: si on remplace 4k+1 par 4k+2 dans la donnée, on ne peut pas obtenir ab=4(4lm+l+m)+1, juste? Est-ce que A n'est pas stable dans ce cas là??

[Bimbooo]

Non ce n'est pas stable : si tu prends 6 = 4*1 + 2 et 2 = 4*0 + 2, 6*2 = 12 = 4*3 + 0 n'est pas dans l'ensemble

[Gyouji23]

Ok je commence à comprendre; le résultat doit absolument être sous la forme 4k+2 pour que l'ensemble soit stable...

[alm]

Pour le premier c'est stable:

Si et avec alors le calcul direct donne:

Une astuce consiste à remarquer que les double produit dans l'identité remarquable est le même quand on developpe les carrés : d'une part et d'autre part.

[Gyouji23]

Salut, merci pour la réponse.
Je ne comprends pas; comment est-ce que tu passes de (ks)^2+(lr)^2 à (ks+lr)^2 ?
merci

[deltab]

Bonjour

Salut, merci pour la réponse.
Je ne comprends pas; comment est-ce que tu passes de (ks)^2+(lr)^2 à (ks+lr)^2 ?
merci

1) Quand tu as remplacé dans C, 4k+1 par 4k+2, tu as modifié l''ensemble C, le produit de 2 éléments de C doit rester dans C donc être de la forme 4k+2 et non 4k+1 (et c'est C et non A).
2) Pour la question que tu te poses maintenant, relis bien les indications données.