Algèbre commutative

par **Em3** » 23 Fév 2009, 11:34

Bonjour,

J'ai un petit problème avec la démo d'un théorème,

Dans un anneau intégre A, on a
"(a) = (b)" (1) "équivalent à"
" il existe u élément inversible de A tel que a = u*b " (2)

(a) désigne l'idéal de A engendré par a

J'arrive à montrer que (2) entraine (1) mais pas la réciproque.

Merci pour tout aide.

par **ffpower** » 23 Fév 2009, 11:52

Si a=0,alors b=0,donc on peut supposer a et b non nuls.Par def,(a)={au,u appartient a A}.Comme b est dans (a) il existe u tel que b=au.de meme,il existe v tel que a=bv.En multipliant les 2 égalités,on a ab=abuv.Par integrité de l anneau on a uv=1

par **leon1789** » 23 Fév 2009, 11:53

donc il existe x tel que a=...

donc il existe y tel que b=...

Alors ab = ...
autrement dit ab(1-xy) = ...

Conclusion :
si ab=0 alors...
sinon...

EDIT : trop tard :triste:

par **leon1789** » 23 Fév 2009, 11:55

(2) implique (1) même si l'anneau n'est pas intègre.

[mode ThSQ]
Trouver un anneau commutatif non intègre tel que (1) n'implique pas (2)
[/mode]

par **Em3** » 23 Fév 2009, 11:58

Ah oui, il fallait JUSTE y penser ! :id:

Merci à vous 2 !

par **Em3** » 23 Fév 2009, 12:02

Oui j'avais remarqué que pour (2) => (1) l'intégrité n'était pas nécessaire.
Mais je ne vois pas de contre exemple... Je cherche...

par **Em3** » 23 Fév 2009, 12:16

Je ne trouve pas de contre ex...

Du type Z/kZ ?

par **leon1789** » 23 Fév 2009, 12:18

Em3 a écrit:Je ne trouve pas de contre ex...
Du type Z/kZ ?

ça commence effectivement comme ça, mais il faut monter autre chose par dessus :id:

par **leon1789** » 23 Fév 2009, 16:33

A := Z[T] /
et t := classe de T dans A

Dans A, on a (2)=(2t) car

et

.

Reste à voir que 2 et 2t ne sont pas multiples l'un l'autre par des inversibles !
Quels sont les inversibles de A ?
Montrer que 2 x (un inversible) = 2

par **leon1789** » 23 Fév 2009, 16:55

A := Z[T] /
et t := classe de T dans A

Dans A, on a (2)=(2t) car

et

.

Reste à voir que 2 et 2t ne sont pas multiples l'un l'autre par des inversibles !
Quels sont les inversibles de A ?
Montrer que 2 x (un inversible) = 2

par **ThSQ** » 23 Fév 2009, 19:32

leon1789 a écrit:(2) implique (1) même si l'anneau n'est pas intègre.

[mode ThSQ]
Trouver un anneau commutatif non intègre tel que (1) n'implique pas (2)
[/mode]

Intéressant (euphémisme pour j'ai aucune idée

).
Enfin le [mode ThSQ] en ce moment c'est je bourrine la phy et l'info !

par **ThSQ** » 23 Fév 2009, 22:16

Une suggestion pour le problème de Léon.

Idée : définir un anneau produit (sous-anneau de Z x Z/pZ[X], très peu d'éléments inversibles) avec un lien entre les deux coordonnées.

p premier > 3.

. Edit : c'est pas super clair à le relire : ce sont tous les couples (n, (n mod p) + X*P(x))
A est un anneau non intègre et n'a que deux éléments inversibles.

On prend deux éléments non nuls et non opposés l'un de l'autre de Z/pZ : a et b.

Alors = mais (0, a*X) et (0, b*X) ne sont pas associés.

Léon, ton avis ?

par **SimonB** » 24 Fév 2009, 00:42

ThSQ a écrit:Enfin le [mode ThSQ] en ce moment c'est je bourrine la phy et l'info !

Pas oublier le français... :ptdr:

par **ThSQ** » 24 Fév 2009, 08:51

J'ai lu le résumé de l'uvre, c'est bon ;)

par **leon1789** » 28 Fév 2009, 20:19

ThSQ a écrit:Léon, ton avis ?

désolé pour le retard (-> petites vacances)

Ton exemple est assez amusant et intéressant. Je n'ai pas l'habitude de constructions dans ce genre (anneau = sous-anneau

idéal), mais on en rencontre parfois. C'est une bonne idée de minimiser le nombre d'inversibles.

Sinon avec Z[T] / et t = classe de T
on a =
et l'ensemble des inversibles est 1+
donc 2 x (un inversible) = 2
et 2t x (un inversible) = 2t

par **ThSQ** » 28 Fév 2009, 21:48

leon1789 a écrit:minimiser le nombre d'inversibles.

Oui, c'est un peu de la triche

mais ça permet de simplifier le problème.

PS tout bronzé notre Léon ?

par **leon1789** » 28 Fév 2009, 22:11

ThSQ a écrit:PS tout bronzé notre Léon ?

tout, ou presque...

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