Algebre L1: Ai-je la bonne méthode

[JaimeLANALYSE]

Bonjour,
Je vous envoie ce message car ça fait plusieurs heures que je cherche, et je ne suis jamais sûr de mes réponses à des exercices types : car je n'ai pas suivi en cours (c est pleinement ma faute), et que je ne trouve pas de correction...

Voici le premier type d'exo :

Considérons l’espace vectoriel V = R4. Considérons les deux familles de vecteurs:
A = {(1, 2, 1, 3),(2, 1, 2, 3), }
B = {(1, −1, −1, 0),(1, 1, 3, 2)}
Soient E et F les sous-espaces vectoriels engendrés respectivement par A et B. Exprimer
une base de E + F et de E ∩ F.

Pour ce type d'exos, j'extrais une base des quatre vecteurs pour la somme (en échelonnant les colonnes). Pour l'intersection, j'échelonne en notant les "additions et soustractions de vecteurs", puis, lorsqu'un vecteur devient nul, j'en conclus que la somme des autres = 0 : puis je trie les vecteurs et ca me donne Xu1 + Yu2 = X'v1 + Y'v2. J'en conclus que c'est E∩F.

Voici le second type d'exo :

Déterminer en fonction de x le rang de la matrice suivante
(x 1 0)
(0 x 1)
(-x 0 x)

Dans ce cas, je fais le déterminant, je regarde quand la matrice est inversible, et je teste pour ces valeurs là (pour les autres, c'est toujours rang n).

Voici le troisième type d'exo :

Considérons l’application linéaire f de R3 vers lui-même associée à la matrice
(1 -1 3)
(1 -1 4)
(1 2 5)
Ecrire la matrice associée à f dans la base B = {(1, 2, 1),(1, 1, 2),(2, 1, 1)}.

Dans ce cas là, je ne sais pas trop quoi faire, faut-il que je pose la base canonique (1 0 0) (0 1 0) (0 0 1)? J'aurais donc la matrice de passage
P= (1 1 2) et P-1= (-1/4 3/4 -1/4)
(2 1 1) (-1/4 -1/4 3/4)
(1 2 1) (3/4 -1/4 -1/4)
Puis P-1 * f * P = La matrice associée?

Voici le quatrième type d'exo :

Soit V un espace vectoriel de dimension 3 et f : V → V une application
linéaire telle que f^3 = 0 et f^2 différent de 0. Montrer qu’il existe une base de V (la même au départ
et à l’arrivée) telle que la matrice associée à f est de la forme
(0 1 0)
(0 0 1)
(0 0 0)

Alors là, je ne sais pas quoi faire du tout...

[hdci]

Bonjour,

Je n'ai pas tout lu, juste le dernier exercice.

Indication : montrer qu'il existe un tel que ; que peut-on alors dire de la famille ? En déduire la réponse à la question.