Algèbre 1 base 2

[Anaisdeistres]

Bonjour,

Je suis en L2 Maths à distance,

J'ai un système d'équation et je cherche une base

x-y+2z=0
2x-3y+z=0
-x-5z=0

déterminant = 0

La famille {v1,v2,v3} engendre l'espace Vect{v1,v2,v3} mais elle n'est pas libre ce n'est donc pas une base. {v1,v2} est une famille libre et d'après le théorème de la base incomplète il existe une base B de Vect{v1,v2,v3} avec {v1,v2} inclu dans B inclu dans {v1,v2}. Comme Vect{v1,v2,v3} n'est pas une base cela ne peut qu'être que Vect{v1,v2}.

Qu'en pensez-vous ? Est-ce correct ? Je l'ai tiré d'un PDF sur internet d'un cours de MASS première année.

Merci.
Cordialement.

[pascal16]

Je ne sais pas si les mots ont changé de signification récemment mais :
finir par " Vect{v1,v2,v3} n'est pas une base"
Vect{v1,v2,v3} est le sous-espace engendré par v1,v2 et v3 et ne sera jamais une base.

{v1,v2,v3} à la limite, mais une base a un ordre, {} est un ensemble non ordonné

"(v1,v2,v3) est une base " ou "v1 , v2 et v3 forment une base" me semble plus adapté.

Et si je te dis que à la fin, la réponse (mal rédigée) c'est Vect{v3,v1} , est-ce qu'elle est aussi juste que celle donnée ?

[Anaisdeistres]

D'après le théorème ce ne peut qu'être que Vect{v1,v2}

[pascal16]

La famille {v1,v2,v3} engendre l'espace Vect{v1,v2,v3} -> vrai
mais elle n'est pas libre ce n'est donc pas une base -> vrai
{v1,v2} est une famille libre et d'après le théorème de la base incomplète il existe une base B de Vect{v1,v2,v3} avec {v1,v2} inclus dans B -> c'est vrai, mais pour l'inclusion de B dans {v1,v2} , tu utilises quel résultat ?

Comme Vect{v1,v2,v3} n'est pas une base cela ne peut qu'être que Vect{v1,v2}.-> là, ça veut plus rien dire


variante :
La famille {v1,v2,v3} engendre l'espace Vect{v1,v2,v3} mais {v1,v2,v3} n'est pas libre elle n'est donc pas une base de R^3.
Vect{v1,v2,v3} est un sous espace de dimension au plus2.
{v1,v2} est une famille libre, Vect{v1,v2} est de dimension 2, donc Vect{v1,v2,v3} est un sous espace de dimension au moins 2.
finalement Vect{v1,v2,v3} est de dimension 2 et {v1,v2} en est un famille libre et génératrice, ie, une base.

NB : (v1,v2) est une base de Vect{v1,v2,v3}.
mais {v1,v3} et {v2,v3} sont aussi deux familles libres
soit Vect{v1,v2,v3} = Vect{v1,v3} = Vect {v2,v3} = Vect{v1,v2}
le plan vectoriel Vect{v1,v2,v3} est aussi le plan vectoriel Vect{v1,v2}....

[Carpate]

Si j'ai bien compris tu cherches l'ensemble des solutions du système :

qui peut s'écrire :

où A = et V est le vecteur nul
Tu sais qu'il n'admet pas une solution unique (et même une infinité) car le déterminant de A est nul.
En tirant z de (3) et en le portant dans (1) et (2), on obtient un ensemble de solutions de la forme
La résolution du système revient à déterminer le noyau de l'application linéaire dont A représente la matrice dans la base canonique.
Ce noyau est avec
Ce que je ne comprends pas bien c'est ta logique, tu sembles au départ chercher une base du sous-espace vectoriel constitué des solutions du système (homogène, sans second membre) puis tu enchaînes en
cherchant une base de l'image du système A.X = Y qui est bien constituée de 2 vecteurs linéairement indépendants car A est de rang 2.