Algèbre 1 : base

[Anaisdeistres]

Bonsoir,

Je suis en L2 Maths à distance,

x+3y-z=0
2x+5y+z=0
2y-z=0

det(
1 2 -1
3 5 1
-1 2 -1 ) = -5 différent de 0

Donc les vecteurs sont libres et générateurs et une base est :

x(1,2,0)+ y(3,5,2)+ z(-1,1,-1)

?

Merci

[LB2]

Bonsoir,

Les vecteurs sont libres?
De quels vecteurs (ou plus correctement, de quelle famille de vecteurs) parles-tu? Dans quel espace?

Ce que tu as écris ne VEUT RIEN DIRE

Cordialement

[Anaisdeistres]

Je cherche une base de

x+3y-z=0
2x+5y+z=0
2y-z=0

et donc j'ai calculé le déterminant et j'ai trouver qu'il vaut -5 donc j'en ai conclue que la famille de vecteurs est libre et génératrice et du coup j'ai trouvé une base x(1,2,0)+ y(3,5,2)+ z(-1,1,-1) qui sont les coefficients de mon système

[LB2]

x(1,2,0)+ y(3,5,2)+ z(-1,1,-1) n'est pas une base, c'est un vecteur de coordonnées (x+3y-z,2x+5y+z,2y-z)

Quelle est la base que tu considères?

[LB2]

Par exemple, tu peux considérer la base constituée des colonnes du système (ou de la matrice). En notation vecteur ligne, v1=(1,2,0) , v2=(3,5,2), v3=(-1,1,-1)

[Anaisdeistres]

Donc v1=(1,2,0) , v2=(3,5,2), v3=(-1,1,-1) est une base ?

[LB2]

oui, sais tu pourquoi?

[Anaisdeistres]

Enfête j'ai prit la matrice des coefficient et j'ai regardé le déterminant je dis que determinant non null donc libre et génératrice est ce bon de déduire cela d'un déterminant ? (Libre et generateur)

[pascal16]

Toute matrice 3*3 avec un déterminant non nul a ses vecteurs colonne qui forment une base.
mais est-ce que cette base t'es utile pour le système ?
il est déjà exprimé dans la base (1,0,0) , (0,1,0), (0,0,1)
Ce que ça dit : l'ensemble des solutions du système est un singleton. Or (0,0,0) est solution, c'est la seule.

Il nous manque une info : Pourquoi passer par un système d'équation pour parler de base et de vecteur générateur alors que tu pouvais faire le déterminant directement ?
Est ce que tu étudies Ker(f) ?

Une base liée au système, c'est celle des vecteurs propres (qui d'après ma calculette n'est pas sympa)

[LB2]

Attention pascal à ne pas confondre la notion de base et celle de base de vecteurs propres : on ne parle pas de vecteurs propres ici.

Pour Anais : il faut savoir montrer que la famille (v1=(1,2,0) , v2=(3,5,2), v3=(-1,1,-1)) est une base.
En général, il faudrait montrer, séparément, qu'elle est libre dans E=R^3 et qu'elle est génératrice de E=R^3
Or, comme cette famille est de bon cardinal (=3=la dimension de R^3 comme R-espace vectoriel), il suffit de montrer l'un ou l'autre.
Pour la liberté : tu considères une combinaison linéaire de v1,v2,v3 qui fait le vecteur nul, et tu montres que les coefficients de cette combinaison linéaire sont tous nuls.
Soient donc x,y,z des réels tels que x*v1+y*v2+z*v3=0. On retrouve le système linéaire de l'exercice!
Deux méthodes classiques pour montrer que l'on a x=y=z=0 :
- Le pivot de Gauss, qui nous permet de résoudre ce système linéaire en se ramenant à un système triangulaire et d'obtenir x=y=z=0, ce qui garantit la liberté de la famille (v1,v2,v3)
- Le déterminant de v1,v2,v3, qui est non nul, nous assure (via un résultat du cours), que cette famille est libre.

Tu peux également raisonner en terme d'endomorphisme (si tu connais les applications linéaires) et considérer f de R^3 dans R^3 qui à (x,y,z) associe x*v1+y*v2+z*v3, la liberté de la famille (v1,v2,v3) revient à montrer que le noyau de f est réduit à {0}.

Pour le caractère générateur : il s'agit que tout vecteur u de R^3 est combinaison linéaire de la famille (v1,v2,v3). Pour cela, tu peux :
- poser u=(a,b,c) et résoudre le système linéaire avec second membre, par pivot de Gauss. Tu trouveras explicitement (x,y,z) en fonction de (a,b,c). Ce qui donnera également l'expression de l'inverse de la matrice A dont les colonnes sont (v1,v2,v3).
- utiliser la notion de RANG d'une famille de vecteurs : et pour calculer ce rang, toujours un pivot de Gauss, pour se ramener à un système triangulaire. On montre ici que la famille est de rang 3, donc est génératrice.

Cordialement

[pascal16]

T'inquiète, on cherchait tous les deux l'ensemble des antécédents du vecteur nul.