Aire d'une sphere

[lapras]

Bonsoir,
j'aimerais savoir comment démontrer que l'aire d'une sphere est 4*pi*r² ?
Je sens bien une intégrale, puisqu'on peut le faire en calculant la surface de disque pour rayon = 0 à rayon = R en ajoutant a chaque fois une quantité infinitésimale au rayon. (enfin c'est ce que je m'imagine)
Mais je ne sais pas trop comment faire...
Merci d'avance
Lapras :we:

[rafbh]

coordonnées sphérique puis triple intégrale sur R Phi et téta

[yos]

Une sphère de rayon R a pour volume et pour surface S(R). On a
Entre deux sphères de rayon R et R+h (h>0), il y a une écorce de volume et ce volume est clairement compris entre S(R)h et S(R+h)h. Divise tout par h et fait tendre h vers 0. Adapte pour h<0.
Tu as prouvé que S(R)=V'(R).

[rafbh]

Volume élémentaire=rdrdtetasinphidphi

et tu passe en triple intégrale!!!

[ThSQ]

Lol

Ca se fait avec une simple intégrale simple ou "à la physicienne" :
http://pagesperso-orange.fr/therese.eveilleau/pages/hist_mat/textes/mirliton.htm

[rafbh]

Cool a la physicienne !!J'adore.
C'est ce que j'ai dit.Boff

[kazeriahm]

d'ailleurs il y a un truc que j'ai jamais compris mais je pense qu'il y a une explication simple :

en reprenant les notations de yos on a dV(R)/dR = S(R), pareil pour l'aire du disque et son perimètre...

géomètriquement j'arrive pas à intuiter ce résultat ?!

[lapras]

je ne vois pas pourquoi
hS(r) <= V(r+h) - V(r) <= hS(r+h)
je le vois plutot comme ca :
si on "déroule" l'écorce de volume, on obtient un cylindre dont le volume est V(r+h) - V(r)
et hS(r) c'est Airebase * hauteur, donc
h*S(r) = V(r+h) - V(r)
donc

(V(r+h) - V(r))/h
= S(r)
mais c'est juste intuitif, pas prouvé

[kazeriahm]

ah bah ouai en fait ca répond à ma question...

[ThSQ]

Enfin calculer la surface d'une sphère à partir de la formule pour le volume .... oui bon .... (encore un sujet de thread pour Léon ça)

[kazeriahm]

[quote="yos
Tu as prouvé que S(R)=V'(R).[/QUOTE"]

hips j'avais po vu

[lapras]

ThsQ c'est bon mon explication ?
peux tu me justifier ton encadrement ?

[yos]

Le calcul de V(R) est bien plus facile que celui de S(R) (par empilement de disques). On peut le faire en discret ou en continu. D'où l'intérêt de l'égalité
S(R)=V'(R).

[lapras]

Oui mais moi j'ai pensé qu'on pouvait aussi empilé les disques en ajoutant a chaque fois leur périmètre, mais je ne vois pas quelle intégrale utiliser dans ce cas la.

[alben]

Oui mais moi j'ai pensé qu'on pouvait aussi empilé les disques en ajoutant a chaque fois leur périmètre, mais je ne vois pas quelle intégrale utiliser dans ce cas la.

Attention, si tu empiles des disques pour calculer la surface, il faut tenir compte de l'inclinaison de la tangente car le morceau de surface ajoutée sera une bande de longueur le périmètre et de largeur l'épaisseur de ton disque divisé par un sinus

[lapras]

Justement,
je comptais faire en sorte que l'épaisseur soit infinitésimale, d'où l'utilisation de l'intégrale.

[emdro]

Bonjour cher Lapras,

et si tu intègres de à ?

[ThSQ]

ThsQ c'est bon mon explication ?
peux tu me justifier ton encadrement ?

Pas lu mais regarde donc le lien que j'ai donné, c'est bien expliqué

[Dominique Lefebvre]

Une sphère de rayon R a pour volume et pour surface S(R). On a
Entre deux sphères de rayon R et R+h (h>0), il y a une écorce de volume et ce volume est clairement compris entre S(R)h et S(R+h)h. Divise tout par h et fait tendre h vers 0. Adapte pour h<0.
Tu as prouvé que S(R)=V'(R).

Hum... je suis toujours surpris lorsque j'entends parler du volume d'une sphère, qui est une variété de dimension 2 (une surface)...
Il est plus précis de parler de volume d'une boule ou de volume fermé par une sphère.
Je ne suis qu'un simple physicien, mais il me reste des souvenirs très précis de topologie...

[lapras]

Bonjour emdro :we:
C'est bon j'ai compris l'utilisation de ton intégrale :)
Merci !
thsQ : sur ton site ils utilisent en gros ce que je voulait faire au début, mais ils s'en sortent avec les calculs, eux !