L'aire d'une demi-sphère: Cours d'integrale de forme differentielle

[MyLifeIsMathematic]

Salut,

Je suis en train de traiter des exercices sur les formes différentielles et les intégrales curvilignes, et je tombe sur l'exercice suivant sur lequel je reste bloqué sans savoir par où commencer :mur:

La question est de calculer l'aire de la demi-sphère supérieure d’équation : x² + y² + z² = a².

Le probleme c'est que je ne sais pas par où commencer, il n'y a aucun théorème dans mon cours qui traite l'aire..

J'ai chercher un peu et j'ai trouvé des formules avec une racine carré de la somme de dérivées partielles mais ce n'est pas clair et généralisé, si quelqu'un peut m’énoncer la formule générale pour calculer une(ou un je sais plus) aire quelconque ?

En attendant vos conseils, je vous souhaite tous une bonne journée.

[Luc]

Bonjour,

- pour ce cas particulier, en fait pas besoin de faire le calcul, c'est un résultat connu:
1 quel est le rayon de cette sphère?
2 connais tu une formule générale pour l'aire d'une sphère de rayon R? donc d'une demi-sphère?
3 tu peux retrouver le résultat " à la physicienne " en disant que la surface de la sphère de rayon R, multipliée par une épaisseur dR, est égale au volume infinitésimal compris entre la boule de rayon R et la boule de rayon R+dR, pour dR suffisament petit.
Et le volume d'une boule de rayon R doit être connu.

4 tu peux retrouver le résultat mathématiquement en utilisant la définition d'une aire dans le cas général. Il faut trouver une équation paramétrique de la sphère. Ici une paramétrisation latitude longitude de la sphère. L'aire est alors donnée par une intégrale double, dont la définition doit être dans ton cours :
Bon courage,
Luc

[MyLifeIsMathematic]

Bonjour,

- pour ce cas particulier, en fait pas besoin de faire le calcul, c'est un résultat connu:
1 quel est le rayon de cette sphère?
2 connais tu une formule générale pour l'aire d'une sphère de rayon R? donc d'une demi-sphère?
3 tu peux retrouver le résultat " à la physicienne " en disant que la surface de la sphère de rayon R, multipliée par une épaisseur dR, est égale au volume infinitésimal compris entre la boule de rayon R et la boule de rayon R+dR, pour dR suffisament petit.
Et le volume d'une boule de rayon R doit être connu.

4 tu peux retrouver le résultat mathématiquement en utilisant la définition d'une aire dans le cas général. Il faut trouver une équation paramétrique de la sphère. Ici une paramétrisation latitude longitude de la sphère. L'aire est alors donnée par une intégrale double, dont la définition doit être dans ton cours :
Bon courage,
Luc

Tout d'abord, merci d'avoir repondu

Sinon, pour les 2 premiers points que tu as cités, je connais deja cette methode , mais comme je l'ai deja dit ,je suis en train de traiter des exercices d'integrales curvilignes donc cette methode n'est pas celle qu'on cherche.

Pour le 3eme point, j'ai pas tres bien compris l'idée mais je peux supposer que la methode n'est pas ce que je cherche.

Pour le 4eme point, tu dis qu'il faut utiliser la definition d'une aire dans le cas general? tu peux me la citer stp car je ne l'a trouve nul part dans mon cours, sinon pour la parametrisation latitude longitude , je ne sais vraiment pas de quoi tu parles

Merci de m'eclaircir encore plus

[Luc]

Tout d'abord, merci d'avoir repondu

Pour le 4eme point, tu dis qu'il faut utiliser la definition d'une aire dans le cas general? tu peux me la citer stp car je ne l'a trouve nul part dans mon cours, sinon pour la parametrisation latitude longitude , je ne sais vraiment pas de quoi tu parles

Merci de m'eclaircir encore plus

Je t'ai redonné la définition d'une aire dans mon message précédent. Avec ces notations, s(u,v) est une paramétrisation de la surface. En l'occurrence, on prend s= la paramétrisation sphérique. où est la longitude et la latitude.

[MyLifeIsMathematic]

Je t'ai redonné la définition d'une aire dans mon message précédent. Avec ces notations, s(u,v) est une paramétrisation de la surface. En l'occurrence, on prend s= la paramétrisation sphérique. où est la longitude et la latitude.

ah oui desolé le latex ne s'est pas affiché au debut , merci je vais essayé avec cela , encore merci