Aire d'une cardioïde

par **MacManus** » 28 Mar 2010, 18:29

Hello !

Je cherche à déterminer l'aire d'une cardioïde à l'aide de la formule de Green-Riemann. On a

, avec

. En posant

et

, en utilisant Green-Riemann, on a :
Aire(cardioïde) =

.

euh... est-ce que c'est correct écrit comme çà ? et est-ce que je dois développer l'expression ou bien trouver autre chose... ?
merci pour vos précisions !

par **Ericovitchi** » 28 Mar 2010, 18:38

en polaire les aires c'est

(parce que là en faisant xdy n'aurais tu pas oublié de dériver

? )

pour la beauté de cette belle courbe :

par **MacManus** » 28 Mar 2010, 18:47

euh.. j'ai bien dérivé

mais sinon la formule que tu donnes, c'est un élément d'aire non? il faudrait alors intégrer...

et merci pour ton animation :++: (le prof l'avait dessinée au tableau, mais c'est mieux comme ça !)

par **Ericovitchi** » 28 Mar 2010, 19:04

ha oui OK, donc ça doit revenir au même alors.

On passe de l'élément d'aire à l'aire en intégrant
A=

(comme tu as fait aussi)

tu devrais trouver que l'aire de la cardioïde vaut 1.5 fois l'aire du cercle

par **MacManus** » 30 Mar 2010, 13:44

merci ericovitchi. je suis d'accord.

par **alavacommejetepousse** » 30 Mar 2010, 13:49

Ericovitchi a écrit:en polaire les aires c'est
(parce que là en faisant xdy n'aurais tu pas oublié de dériver ? )

pour la beauté de cette belle courbe :

epicycloïde à un point de rebroussement très jolie

"s'il te plait dessine moi"... une astroïde

par **Ben314** » 30 Mar 2010, 14:44

Ericovitchi a écrit:...tu devrais trouver que l'aire de la cardioïde vaut 1.5 fois l'aire du cercle

Soit j'ai pas trop compris, soit il y a un truc louche : vu ton dessin, il semble clair que la cardioïde contient au moins 2 fois le cercle...

par **MacManus** » 30 Mar 2010, 14:45

il n'ose pas dire "un mouton" car il n'en connaît pas l'équation polaire.
remarque on peut dessiner un mouton avec des points de rebroussements...

par **MacManus** » 30 Mar 2010, 14:53

voila à quoi je me réfère (et peut-être ericovitchi ?)
http://www.mathcurve.com/courbes2d/cardioid/cardioid.shtml

Si je reprends l'expression de l'aire donnée dans mon 1er post, mon prof utilise le changemnt de variable suivant :

mais après je bloque un peu...on obtient un truc assez tordu...
avez-vous une idée pour calculer?
merci, je vais refaire les calculs de mon côté

par **Ben314** » 30 Mar 2010, 15:21

Sauf erreur, le plus simple, c'est les coordonnées polaires centrées au point de "départ" de la courbe :
La courbe est alors définie par :

où

Donc la surface est définie par :

où

Ensuite tu utilise

...

par **MacManus** » 30 Mar 2010, 15:40

ok j'ai pris note, merci

sinon je reste un peu borné sur mon calcul, je trouve (avec les changements précédents) :

Aire(Cardioïde) =

=

bon... je peux peut-être décomposer en éléments simples :/ ou utiliser le théorème des résidus... une idée ?

par **Ben314** » 30 Mar 2010, 18:11

MacManus a écrit:Hello !

Je cherche à déterminer l'aire d'une cardioïde à l'aide de la formule de Green-Riemann. On a , avec . En posant et , en utilisant Green-Riemann, on a :
Aire(cardioïde) = .

euh... est-ce que c'est correct écrit comme çà ? et est-ce que je dois développer l'expression ou bien trouver autre chose... ?
merci pour vos précisions !

Arrivé là, si tu veut continuer à la jouer "bourrin", tu est sensé décomposer en éléments simples puis intégrer chacun d'eux...

MAIS, en partant de la formule de ton premier post, il serait beaucoup plus judicieux de développer puis de linéariser l'expression (i.e. remplacer les

par des

à l'aide des formules trigo ou mieux, des formules de moivre)
Les primitives des fonctions de la forme

et

sont connues...

Les formules "d'arc moitié" sont trés "puissantes" mais mênent systématiquement à des calculs trés compliqués, donc on ne les utilise souvent que quand on a épuisé les méthodes plus élémentaires...

par **Ericovitchi** » 30 Mar 2010, 18:38

tu as raison, quand je disais 3/2 de la surface du cercle, j'ai répondu trop rapidement. C'est bien 3/2 pi a² mais a c'est le diamètre du petit cercle. donc dans ton cas a=1 et tu dois donc trouver 3pi/2

Sinon bourrin c'est :

et comme

tu peux transformer

qui est facile à intégrer
on trouve bien 3pi/2

par **MacManus** » 30 Mar 2010, 18:41

ok ok merci bcp Ben et Ericovitchi ! c'est compris

effectivement on trouve bien 3pi/2

par **Lostounet** » 30 Mar 2010, 19:43

Ce qui serait intéressant, c'est de faire faire l'exercice à des collégiens tels que moi. C'est faisable? Avec quelques données en centimètres?

par **MacManus** » 31 Mar 2010, 01:46

Une façon de construire la cardioïde :

Soit C le cercle de centre O et de rayon 1. On note A le point de coordonnées (-1; 0). À tout point m de C, on associe le point M, projeté orthogonal de A sur la tangente en m à C. La cardioïde est le lieu des points M.

Sinon pour caculer son aire, je ne sais pas vraiment, mais tu peux toujours obtenir une approximation de celle-ci en découpant en plusieurs triangles et calculer leurs aires (la figure est symétrique)

Remarque : plus tu auras de points M placés sur la figure, plus ton approximation de l'aire sera précise... bon c'est peut être un peu pénible...je ne sais pas : )

Aire d'une cardioïde

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