Aire du Polygone des racines d'une équation algébrique à coe

[ibrahimrihani3]

Bonjour les matheux
J'ai deux questions sur les équations algébriques à coefficients réels (E): z^n +a_(n-2)z^(n-2)+....+a_1z+a_0=0 (noter bien qu'il est toujours possible d'annuler le terme en z^(n-1) par la translation : z'=z+a_(n-1)/n
(1) Est-ce que le polygone des racines de (E) est toujours convexe ?
(2) On fixe a_0 dans R* et on fait varier les autres coefficient .Pour n=3 , on a démontré (article) que l'aire du triangle (éventuellement aplati) des racines est maximale ssi a_1 = 0 ssi le triangle des racines est équilatéral . Est ce que ce résultat reste vrai pour 4<= n , c-à-d l'aire de l'enveloppe convexe des racines est-elle maxi ssi a_(n-2)=a_(n-3)=...=a_1=0 ssi l'env conv des racines est un polygone régulier à n cotés .
Je vous remercie .

[GaBuZoMeu]

Bonsoir,

1) La seule contrainte sur les racines est que leur somme soit nulle et que leur ensemble soit stable par conjugaison (puisque les coefficients sont réels)? Rien n'empêche par exemple d'avoir cinq racines dont l'enveloppe convexe est un triangle.

2) La question est intéressante. Le cas n=3 ne paraît pas trop dur en effet.
Commencer par regarder le cas n=4, pour voir.

[ibrahimrihani3]

Bonsoir Gabu Zomeu , je te remercie pour ton retour .
1) j'ai essayé avec plusieurs équations , je trouve que les racines forment un n-gone convexe , voyez bien que c'est l'équation qui donne les racines (donc leur polygone) et inversement , je veux dire qu'il y aient des relations entre coefficients et racines qui sont imposées et qui donnent une certaine forme géométrique aux racines ;;
2) j'ai essayé démontré le cas n=4 , j'ai échoué car étant donnée z^4+pz^2+qz+r =0 il faut étudier les extrema de la fonction aire A(p,q) (aire du quadrilatère des racines) ; c'est un calcul différentiel à deux variables , difficile, pour mon cas, d'autant que je ne connais pas la différentielle de A(p,q) .

[GaBuZoMeu]

1) As-tu essayé ? Ou ?

2) On peut essayer
a) avec deux racines réelles (avec et positifs) et une paire de racines complexes conjuguées , () avec la condition que le produit des racines est par exemple fixé à : . L'aire de l'enveloppe convexe des racines est alors .
b) avec deux paires de racines complexes conjuguées et ( positifs). Je te laisse voir ce que vaut l'aire de l'enveloppe convexe dans ce cas.

[ibrahimrihani3]

Bonsoir,
1. Pour le premier exemple les racines sont -1, 1, i et -i qui forment un carré donc convexe. Le deuxième exemple à éviter car le polynome que t'as donné contient un terme en X^3.
2. Je ne suis pas d'accord avec (a) et (b) En fait c'est l'équation qui donne les racines et pas nous , c'est les coefficients qui controlent les racines complexes .
Merci pour ta réponse. J'essaierai de mon coté .

[ibrahimrihani3]

je m'excuse , les racines pour ton 1er exemple sont -1, 1, i , -i et 0 ;; mais alors 0 est racine de notre polynome ,,ce qui n'est pas car a_0 est non nul .

[GaBuZoMeu]

Et le deuxième exemple que j'ai donné ?
Par ailleurs, il n'y a pas besoin de beaucoup d'imagination pour modifier le premier exemple en prenant comme racines 2, 1, 1+i, 1-i, -5.

Ceci étant évacué, passe aux choses plus sérieuses. Que penses-tu de la piste que j'ai donnée pour le cas de degré 4 ?

[GaBuZoMeu]

En fait c'est l'équation qui donne les racines et pas nous , c'est les coefficients qui controlent les racines complexes .

Tu as une vision erronée des choses. Se donner un polynôme complexe unitaire revient à se donner l'ensemble de ses racines (comptées avec multiplicité). Et un polynôme unitaire est réel si et seulement si l'ensemble de ses racines est stable par conjugaison. J'explicite, si tu ne vois pas bien : l'application

induit une bijection de (quotient par l'action canonique du groupe symétrique) sur l'ensemble des polynômes unitaires de degré .

Ici, il me semble largement plus commode de voir le polynôme unitaire comme l'ensemble de ses racines. La preuve : tu es bien embêté pour exprimer l'aire à partir des coefficients, mais ça ne pose pas de gros problème de le faire à partir des racines, en distinguant plusieurs cas de figure.

Enfin, si tu ne veux pas utiliser cette voie, bonne chance !

[GaBuZoMeu]

Une petite remarque pour le cas du degré 4.
Tu peux étudier la famille de polynômes . Il est très facile dans ce cas de calculer l'aire de l'enveloppe convexe des quatre racines dans le plan de la variable complexe.

[ibrahimrihani3]

Bonjour ,
1) je vous remercie pour les explications oui j'étais embeté par les relations entre coefficients et racines d'un polyn scindé . En fait , il suffit, comme t'as dit de se donner n complexes (les non réels ont leurs conjugués dedans) distincts ou non pour définir un polyn unitaire à coefficints réels. Puis on n'a qu'à utiliser les relations entre coeff et racines pour retrouver les coefficients.
2) pour l'exemple que t'as donné , C'est un très bon exemple d'équation :
(i) si a^2 => 1, alors Delta => et toutes les racines sont nulles donc l'aire demandée est nulle.
(ii) .Si a^2 <1 alors Delta <0 , alors il existe un angle phi (en fait on peut choisir phi =+ou - arctan(racine(1-a^2) /a) ) tels que l'équation ait pour racines : z1= exp(iphi/2) ,z2= conj(z1) , z3 = -exp(iphi/2) et z4 = conj(z3) . Les racines formes un rectangle d'aire 2 Abs(sin(phi)) qui est maximale si et seulement si phi = pi/2 ou -pi/2 donc si et seulement si a=0 , cqfd, c'est un exemple génial !!!
3) maintenant est -il possible pour z^4 +pz^2+qz+r= ( rnon nul fixé et p,q variables dans R) d'exprimer l'aire en fonction des coeff ou des racines et de démontrer qu'elle atteint son maximum ssi p=q=0. Je réfléchirai à cette question.
J'attendrai votre retour . Merci encore une fois pour les clarifications .

[ibrahimrihani3]

dans 2) (i) , je veux dire toutes les racines sont réelles .

[ibrahimrihani3]

En fait j'ai utilisé l'équation X^4 +2aX^2+1=0 et pas la votre: X^4 +2aX^2 -1=0 :
pour votre équation Delta' = a^2 +1 >0 donc X^2 =-a+a^2+1>0 ou bien X^2 = -a-a^2-1 <0, donc il ya deux racines réelles opposées et deux racines complexes conjuguées , un travail analogue amène à la meme conclusion que moi .

[GaBuZoMeu]

un travail analogue amène à la meme conclusion que moi .

Absolument pas. Reprends le calcul.

[ibrahimrihani3]

oui oui t'as raison , j'ai trouvé que les racines forment un losange d'aire 2 , constante !!!!! donc le résultat que je cherche est faux en degré 4 ;;; très très bien , bravo vraiment .