[An. Complexe] Aire de l'image du disque

[Mikihisa]

Bonjour, je ne sais vraiment pas comment aborder ce problème

Soit de rayon de Cv > 1, f injective sur le disque et de dérivé non-nulle.

Calculer l'aire de f(D).

[Doraki]

l'aire autour de z est localement multipliée par |f'(z)|²,
donc l'aire de f(D) vaut

Tu dis que , tu remplaces par leur série entière et tu développes.
Comme est nul sauf lorsque n=m (il suffit de regarder ce qui se passe par un changement de variable z -> z e^it), il devrait seulement rester une combinaison linéaire des |an|².

Sauf erreur, j'ai pi (|a1|² + 2|a2|² + 3|a3|² + ...)

[Mikihisa]

En fait je ne pige pas trop pourquoi c'est ça le résultat...

Je sais bien que l'intégrale d'une fonction réelle est "l'aire sous la coube" de même que l'intégrale d'une onction R^2 -> R est le volume sous la surface ...
Mais ici, de quoi s'agit-il ?
Pourquoi cette integrzle est bien l'aire f(D) ??

[Mikihisa]

Le |f'(z)|^2 provient du jacobien de f j'imagine ?

[Doraki]

Si tu vois f comme une fonction de R² dans R², ça devrait correspondre au jacobien oui.

[Mikihisa]

Je le sais parceque c'était la question précédente lol

mais çà ne m'eclaircis pas du tout quand a l'interpretation en terme d'aire de ceci, si tu as un lien qui explique cela je suis preneur

merci tout de meme

[Doraki]

l'aire de f(D) c'est l'intégrale sur f(D) de 1 * d²s.

Là tu appliques le théorème de changement de variables dans les intégrales. f est bijective de D sur f(D), sa différentielle est toujours inversible, donc f(D) = l'intégrale sur D de 1 * jacobien * d²s

[Mikihisa]

Bon je pense avoir saisi, arrêtez moi si je me trompe :

On cherche a calculer :
Pour cela on effectue le changement de variable z-> f(z)
D'où on obtint

C'est bien ça ?

[Mikihisa]

Lol, ce qui est drôle c'est se j'ai poster mon message avant de voir le votre

[Robot]

C'est plutôt .

[Mikihisa]

Ok mais alors que deviennent les dzdz* après le CV ?

Pourquoi dsns votre message les différentielles ne changent pas ?

C'est vraiment pas clair ces machin la

[Robot]

Ok mais alors que deviennent les dzdz* après le CV ?

Pourquoi dsns votre message les différentielles ne changent pas ?

C'est vraiment pas clair ces machin la

C'est très clair.

D'une part, si , alors .

D'autre part, si avec holomorphe, .

[Mikihisa]

Pour vous peut être, mais pas pour moi

Fin ceci dit, j'ai mon résultat mais ça m'énerve de pas vraiment comprendre ces histoire de différentielles ...

D'ailleurs quand vous écrivez dz^dz* c'est un produit vectoriel ?

[Robot]

Non, c'est le produit extérieur des formes différentielles : https://fr.wikipedia.org/wiki/Forme_diff%C3%A9rentielle .

[Mikihisa]

Oui fin j'entre a peine en L3 j'en suis pas a la encore lol
Merci pour tes réponses tout de même !

Sinon, l'aire c'est si on considère comme une fonction de R^2

Mais a vrai dire, c'est vrai que ça serais plus pratique d'avoir du dzdz* puisque je voudrais ensuite donner une expression en fonction des coef de la série entière :/

[Robot]

N'as-tu pas lu ce que j'ai déjà écrit ?

[Mikihisa]

Oui, en fait j'ai finalement réussi !!!

Donc le truc c'est que je devais trouve a la fin

Et je cherchait a tout pris a passer en dzdz* pour simplifier le calcul....
Alors qu'en fait c'était pas nécessaire.
Il suffisait de rester en dxdy :


Et de passer en coordonnee polaire :


Partant de la je remplace |f'(z)|^2 par


Que je développe en produit de Cauchy.
Ça donne une double somme horrible, mais aussi incroyable que ça puisse paraître, la plus part des termes vont s'annuler en intégrant sur dt et on obtient la bonne expression, pratique a utiliser ....

[Mikihisa]

Je vais laisser les forme différentielle de côté pour l'instant :p

Merci tout de même !

(Enfait j'avais la bonne réponse depuis le début il me suffisait jtdr de poser le calcul je une feuille....)

[Robot]

Pas mal de coquilles dans ce que tu as écrit !

[Mikihisa]

Ou ça donc ?