Bonjours, j'ai besoin d'aide pour un éxo de topologie ou je bloque un peu..
1- j'ai factoriser f(x), on obtient donc:
On voit qu'on a une somme de carré et donc que f(x) est strictement positif ou nulle on a donc que f(x) appartient à [0;+inf[
Pour montrer qu'elle est il suffit de montrer que il s'agit d'un polynome à valeur réelle et de calculer sa dérivée.
2- f(x) étant une somme de terme strictement positif, quand x tend vers +inf on a que f(x) tend vers +inf
3- En utilisant le domaine de définition de f(x) on peut préciser K en disant que: .
Pour montrer que c'est un compact j'ai utiliser la caractérisation séquentielle d'un compact à savoir:
"Pour toute suite (yn) d'élements de K il éxiste une éxtraction Phi:N->N strictement croissante telle que (y(phi(n)) converge vers un élements de K"
Or ici on a que f(x) est strictement croissant, on en déduit que comme f(x) est borné et strictement croissant elle est convergente (j'ai pas utiliser de sous suite mais bon on peut utiliser Bolzano weiestrass pour sa)
4- J'ai rappeler une propriété de le borne inférieur (c'est pas la définition officielle):
"On dit que f(x0) est une borne inférieur de K si "
Or comme nous somme dans un compact K admet une borne inférieure qui est 0.
5- La je ne sais pas trop qu'elle est la bonne démo..
J'ai définit l'ouvert de K comme étant:
La borne inférieur de cet ensemble étant encore 0 on a bien que l'inf de K et l'inf de l'ouvert de K sont égaux.
6- La premiere égalité se déduit de la question 5, pour démontrer que la Jacobienne de f en x0 vaut 0 il suffit de dire que x0 vaut 0 et donc que le déterminant d'une matrice nulle est nulle.
7- Le minimum de f sur K est égale à 0.
8- En utilisant le domaine de définition de f on peut en déduire par similarité avec K que son minimum vaut f(x0)=0
Merci!