Aide - TOPOLOGIE 2

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Anis1801
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Aide - TOPOLOGIE 2

par Anis1801 » 18 Mar 2017, 16:47

Bonjours, j'ai besoin d'aide pour un éxo de topologie ou je bloque un peu..

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1- j'ai factoriser f(x), on obtient donc:
On voit qu'on a une somme de carré et donc que f(x) est strictement positif ou nulle on a donc que f(x) appartient à [0;+inf[
Pour montrer qu'elle est il suffit de montrer que il s'agit d'un polynome à valeur réelle et de calculer sa dérivée.

2- f(x) étant une somme de terme strictement positif, quand x tend vers +inf on a que f(x) tend vers +inf

3- En utilisant le domaine de définition de f(x) on peut préciser K en disant que: .
Pour montrer que c'est un compact j'ai utiliser la caractérisation séquentielle d'un compact à savoir:

"Pour toute suite (yn) d'élements de K il éxiste une éxtraction Phi:N->N strictement croissante telle que (y(phi(n)) converge vers un élements de K"

Or ici on a que f(x) est strictement croissant, on en déduit que comme f(x) est borné et strictement croissant elle est convergente (j'ai pas utiliser de sous suite mais bon on peut utiliser Bolzano weiestrass pour sa)

4- J'ai rappeler une propriété de le borne inférieur (c'est pas la définition officielle):
"On dit que f(x0) est une borne inférieur de K si "
Or comme nous somme dans un compact K admet une borne inférieure qui est 0.

5- La je ne sais pas trop qu'elle est la bonne démo..

J'ai définit l'ouvert de K comme étant:
La borne inférieur de cet ensemble étant encore 0 on a bien que l'inf de K et l'inf de l'ouvert de K sont égaux.

6- La premiere égalité se déduit de la question 5, pour démontrer que la Jacobienne de f en x0 vaut 0 il suffit de dire que x0 vaut 0 et donc que le déterminant d'une matrice nulle est nulle.

7- Le minimum de f sur K est égale à 0.

8- En utilisant le domaine de définition de f on peut en déduire par similarité avec K que son minimum vaut f(x0)=0

Merci!



pascal16
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Re: Aide - TOPOLOGIE 2

par pascal16 » 18 Mar 2017, 18:07

attention, il y a de x^4 dans la formule, la factorisation semble fausse

j'ai tracé y^4 -2xy +x^4=k pour k variant de 0 à 2
K est une forme en forme de losange aux coins arrondis

et on cherche un minimum de f, sur K, c'est avec k = 0, ça donne une forme en forme de 8

Anis1801
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Re: Aide - TOPOLOGIE 2

par Anis1801 » 18 Mar 2017, 21:20

Shit tu as raison ! Dû coups Sa ne sert à rien de factoriser ?

pascal16
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Re: Aide - TOPOLOGIE 2

par pascal16 » 18 Mar 2017, 22:41

f(0.5;0.5)= -0.375 donc f n'est pas toujours positive



doivent être les deux points où f atteint son minimum

l'écriture f(x) est trompeuse car x=(x1;x2)
f n'est pas une fonction polynôme de variable x, mais bien des combinaisons de sommes et produits de deux variables donc toujours définie.

d'ailleurs n'est pas très mathématique comme écriture
est plus juste, mais le résultat est le même les termes en "x^4" prennent le dessus et elle tend vers +oo.

Je ne comprend pas la question 5 si la démonstration de la compacité est faite en 3 comme tu as fait. As-tu dans le cours des résultats 'tout fait' ?

Anis1801
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Re: Aide - TOPOLOGIE 2

par Anis1801 » 19 Mar 2017, 00:26

Je dois faire une recherche d'extrêma comme tu l'as dis dans l'exo avec les dérivée partielle
Non justement c'est Un Dm mais dès que je l'ai je te La publierai

pascal16
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Re: Aide - TOPOLOGIE 2

par pascal16 » 19 Mar 2017, 11:38

le fil de l'énoncé est pas très clair.
j'ai tracé la courbe z=f(x,y) avec f(x,y)= x^4+y^4-2xy pour m'aider à comprendre sous géogebra.
A priori, la recherche des extremums ne sert à rien pour répondre aux question, c'est de la topo.

Pour la 4, tu dois avoir un truc du genre "toute fonction continue sur un compact atteint ses bornes" ou " toute fonction continue et bornée sur un convexe atteint ses bornes" dans le cours.

La 5 : peut être dire que l'adhérence de l'ouvert de K est K (pas de point isolé).
le passage à la limite d'une suite bien choisie te donne l'églité

Anis1801
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Re: Aide - TOPOLOGIE 2

par Anis1801 » 19 Mar 2017, 13:39

En topo on a fait de la recherche d'extrema en td donc Sa m'étonnerai pas que sa soit Sa mais je suis meme pas sur que ce polynôme admette bien des extrémum je vais essayer avec geogebra de voir ce que sa donne..

 

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