Aide sur les relations binaires (Théorie de la décision)

[Root]

Bonjour tout le monde, actuellement en 1ère année de license informatique, j'étudie la Théorie de la décision et plus précisemment les relations binaires.

Dans un exercice, je dois montrer l'assertion suivante, en faisant une démonstration par l'absurde (apparemment) :

(A) : "Si une relation binaire R sur un ensemble X est asymétrique, alors elle est antisymétrique."

Au passage, je n'ai vu les démonstrations que très vaguement en terminale.

Déjà, si j'ai bien compris, pour prouver une proposition par l'absurde, on doit s'appuyer sur la proposition contraire et trouver une incohérence qui nous permet de déduire que l'assertion est vraie.

J'hésite entre les deux proposition ci-dessous, doit-on faire la négation de toute la proposition ou seulement d'une partie ?

(1) : "Si une relation binaire R sur un ensemble X n'est pas asymétrique alors elle n'est pas antisymétrique."
(2) : "Si une relation binaire R sur un ensemble X est asymétrique, alors elle n'est pas antisymétrique."

Donc, laquelle de ces deux propositions est correcte pour démontrer l'assertion (A) ? (Ou peut-être aucune des deux ??)

(Au passage, je pense que la (2) est celle qu'il me faut)


Ce que j'ai tenté de faire jusqu'à présent :

D'abord, on écrit les propriétés de l'asymétrie et l'antisymétrie :

- Asymétrie : ∀x ∈ X, y ∈ X, xRy ⇒ ¬(yRx)
- Antisymétrie : ∀x ∈ X, y ∈ X, xRy ∧ yRx ⇒ x = y

On cherche à montrer P ⇒ Q où P représente l'asymétrie et Q l'antisymétrie (non ?)
Pour ça, on montre P ⇒ ¬Q (principe de la démonstration par l'absurde non ?)

À partir de là, je ferais :
P ⇒ ¬Q
xRy ⇒ ¬(x = y)
xRy ⇒ x != y

Or, l'antisymétrie est définie par xRy ∧ yRx ⇒ x = y, ce qui veut dire que ¬Q est faux, donc que Q est vraie ?

En fait, j'ai l'impression d'écrire n'importe quoi... Si quelqu'un pouvait m'aiguiller, me donner une piste qui pourrait me mener à comprendre.

Je suis perdu.

Merci à vous.

[GaBuZoMeu]

Pour une relation asymétrique, on n'a jamais (xRy et yRx). Et comme "ex falso sequitur quodlibet", tu peux en déduire à la fois x=y et x!=y. Marrant, non ?

Sinon : ta proposition 2 ne te mènera à rien. Au fait, la négation de "Si A, alors B" n'est pas "Si A, alors non B" mais "A et non B"; mais vraiment, il n'y a pas de raisonnement par l'absurde dans cette histoire.