Aide récurrence

[biomel]

Bonjour à tous

Voila je dois démontrer a^n >= 1+n(a-1)

avec a appartenant a R+ et pour tous n dans N !
On me donne une indication, qui est : a²-2a+1=(a-1)²

J'ai reussi à démontrer que P1 est vraie mais je bloque pour Pn+1 et la suite !

Merci d'avance !

[arnaud32]

tu peux proceder par recurence

[biomel]

tu peux proceder par recurence

Oui c'est ce que je dois faire ! Mais pour démontrer que Pn+1 est vraie je bloque ! et surtout je n'arrive pas à utiliser l'indication !

[arnaud32]

donc comme a>0 en utilisant Pn:
tu as par hypothese de recurence
tu multiples par a

tu obtiens donc

[biomel]

donc comme a>0 en utilisant Pn

Je ne comprends pas ce que vous avez fait ! Je sais que a^n+1= a^n*a mais pour la suite ...

[Arony]

Il a juste développé et il a utilisé ton indication

[Arony]

Puis ce n'est pas le résultat final

[Arony]

n'oublie pas que toi doit arriver à n+1 pour que ça soit vrai

[biomel]

donc comme a>0 en utilisant Pn:
tu as par hypothese de recurence
tu multiples par a

tu obtiens donc

D'accord je comprends un peu mieux ! Juste vous êtes parti du principe que a=a+1-1 ?
Mais le -2a je ne comprends pas trop !

Et ensuite je crois je ne comprends pas trop le raisonnement tu théorème ! Je dois montrer que Pn+1 est vraie ! Je dois donc montrer que a^n+1 est bien supérieur ou égal à 1+(n+1)(a-1) ? Mais du coup j'ai du mal à voir où nous amène ce calcul ! A la fin on a : a^n+1 >= 1+(n+1)(a-1)+n(a-1)², c'est ça ?

[biomel]

n'oublie pas que toi doit arriver à n+1 pour que ça soit vrai

Pourquoi je dois arriver à n+1 ?
Je ne dois pas montrer que a^n+1 >= 1+(n+1)(a-1) ?

[leon1789]

Pourquoi je dois arriver à n+1 ?
Je ne dois pas montrer que a^n+1 >= 1+(n+1)(a-1) ?

Connais-tu le principe de récurrence ? Pour toi, c'est quoi ce principe ?

[biomel]

Connais-tu le principe de récurrence ? Pour toi, c'est quoi ce principe ?

Pour moi, il faut que j'arrive à montrer que Pn+1 est vraie soit que a*a^n>=a(1+n(a-1))

Si j'arrive à démontrer ça, ça veut dire que Pn est vraie !

Maintenant je ne comprend pas la démarche ! Je pars de a(1+n(a-1)) et j'essaie de montrer que c'est bien <= a*a^n ! Mais je ne sais pas si ce raisonnement est juste !

[hammana]

Bonjour à tous

Voila je dois démontrer a^n >= 1+n(a-1)

avec a appartenant a R+ et pour tous n dans N !
On me donne une indication, qui est : a²-2a+1=(a-1)²

J'ai reussi à démontrer que P1 est vraie mais je bloque pour Pn+1 et la suite !

Merci d'avance !

Je porpose d'écrire l'inéquation sous la forme

Si a>1 on peut diviser par (a-1) les deux membres de l'inéquation qui devient évidente puisque
On traite sans diffuculté le cas a<1

[leon1789]

Pour moi, il faut que j'arrive à montrer que Pn+1 est vraie soit que a*a^n>=a(1+n(a-1))

Si j'arrive à démontrer ça, ça veut dire que Pn est vraie !

C'est assez approximatif ce que tu racontes... Il manque par exemple l'initialisation de la récurrence, et l'hérédité est assez mal racontée.

En partant de Pn pour un certain entier n, c'est-à-dire a^n >= 1+n(a-1)
il faut que tu démontres Pn+1, c'est-à-dire a^(n+1) >= 1+(1+n)(a-1)

Ensuite le principe de récurrence fera que a^n >= 1+n(a-1) est vrai pour tous les entiers n.

Bref, il faut que tu prouves que a^n >= 1+n(a-1) implique a^(n+1) >= 1+(1+n)(a-1)

[bentaarito]

C'est un grand classique qu'on démontre en terminal en principe sous le nom de "Inégalité de Bernoulli"
( tu peux t'en convaincre en posant A=a-1 )
et tu peux voir ici :http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Bernoulli

[biomel]

L'initialisation j'ai compris et je l'ai faites ! Maintenant je comprends biens qu'il faut que je démontre pour n+1 mais je n'y arrive je me mélange les pinceaux !

Quand j'arrive à un résultat je ne sais pas si c'est terminé ! mais quand je regarde je me dis que comme n>1 et a positif je me dit que c'est forcément supérieur ou égale à a ! Mais je ne crois pas que ce que je dis tienne la route !

[leon1789]

Ok, alors on part de l'hypothèse de récurrence
a^n >= 1+n(a-1)

on la multiplie de chaque coté par a (qui est positif, cela ne change pas le sens de l'inégalité)
on arrive donc à a^(n+1) >= a(1+n(a-1))

Mais nous, on voudrait a^(n+1) >= 1+(n+1)(a-1) ...

Maintenant regarde le signe de la différence entre a(1+n(a-1)) et 1+(n+1)(a-1) :
pour cela, développe puis simplifie la différence entre ces deux quantités a(1+n(a-1)) et 1+(n+1)(a-1)
(et tu verras pourquoi on te donne l'indication (a-1)² = a²-2a+1 )

[hammana]

Ok, alors on part de l'hypothèse de récurrence
a^n >= 1+n(a-1)

on la multiplie de chaque coté par a (qui est positif, cela ne change pas le sens de l'inégalité)
on arrive donc à a^(n+1) >= a(1+n(a-1))

Mais nous, on voudrait a^(n+1) >= 1+(n+1)(a-1) ...

Maintenant regarde le signe de la différence entre a(1+n(a-1)) et 1+(n+1)(a-1) :
pour cela, développe puis simplifie la différence entre ces deux quantités a(1+n(a-1)) et 1+(n+1)(a-1)
(et tu verras pourquoi on te donne l'indication (a-1)² = a²-2a+1 )

et si on pose a=1+e l'inéquation devient:

(1+e)^n= 1+ne+...>1+ne, ce qui est évident