Aide pour un résultat

[Archytas]

Salut,
J'aimerais démontrer le résultat suivant :
Soit X une variété complexe telle que (on dit alors que f sépare x et y). Montrer que pour tout ensemble discret dans X il existe une fonction holomorphe qui sépare tous les points de cet ensemble i.e.

[zygomatique]

salut

c'est qui O(X) ?

[Doraki]

Est-ce que X est une réunion croissante dénombrable de parties compactes ?

[Archytas]

salut

c'est qui O(X) ?

Salut, O(X) c'est les fonctions holomorphes définies sur X.
Doraki, l'auteur parle très exactement d' "espaces analytiques". Selon moi c'est exactement les variétés complexes. J'avais déjà posté un sujet pour être sûr de ce terme. Sinon on a pas d'hypothèse en plus.
Mon idée serait de démontrer ça :
"Lemme : Dans un espace analytique de dimension n, ".
L'auteur pose ce lemme et ne donne ni source ni démonstration, j'imagine que c'est donc facile. Pour le moment je pense juste avoir réussi à démontrer que pour tout x il y a n fonctions telles que leur zéros communs soient un ensemble discret contenant x et donc si j'arrive à démontrer le résultat de mon premier message c'est gagner et ce qui m'invite à croire que c'est vrai est que l'auteur l'utilise un peu plus loin sans aucune justification.
Après je peux me tromper parce qu'il l'utilise dans un contexte avec plus d'hypothèse... Je suis un peu perdu, c'est ma seule piste "qui marche", mais avec si peu d'hypothèse ça m'a l'air trop beau pour être vrai.
Et pour le résultat de mon premier message je pense avoir réussi à le montrer pour un nombre fini de points, i.e. pour tout ensemble fini de points de X il existe une fonction holomorphe qui les sépare tous.
Le texte en question est le premier lien de https://www.google.it/?ion=1&espv=2#q=espaces%20de%20stein, je dois faire une présentation sur ça dans quelques jours et j'aimerais être au top et ce lemme me prend la tête...

[Doraki]

1. je vois pas où ça apparaît dans le texte
2. je vois pas comment ta propriété de séparation entraînerait le lemme
3. on doit pas avoir les mêmes définitions parceque le lemme est faux pour par exemple une courbe elliptique.

[Archytas]

1. C'est le lemme 2.1 à la deuxième page du pdf
2. Si on a déjà n fonctions holomorphes qui s'annulent sur un ensemble discret contenant x et qu'on a une fonction holomorphe g qui sépare tout l'ensemble discret alors l'ensemble d'annulation des n fonctions et de g-g(x) est x.
3. Vous pourriez me donner un exemple particulier de courbe elliptique pour laquelle ça marche pas ?

ça serait super embêtant que ce soit faux étant donné que toute la fin de l'article repose sur ce lemme ...

[Doraki]

ooh j'avais pas vu qu'il autorisait jusqu'à n+1 fonctions pour isoler {x}.

En fait, si ta variété est compacte (par ex la sphère de riemann), les seules fonctions holomorphes sur X tout entier sont les fonctions constantes, donc tu vas avoir bien du mal à obtenir des ensembles autre que l'ensemble vide et X comme intersection de zéros de fonctions holomorphes. (ou sinon j'ai encore mal lu et qu'est-ce que je fous là à 2 heures du mat)

(et puis lol, la recherche google a changé depuis tout à l'heure et donc pour l'instant sur les 2 articles qui sont apparus en 1er lien y'a rien qui ressemble)

[Archytas]

L'article s'appelle Espaces de Stein et faisceaux localement libres. Et oui les variétés compactes sont pas étudiées dans cet article pour cette raison ; elles ne vérifient pas la séparation de deux points (appelée séparation holomorphe). Oui c'est très important les n+1 fonctions, l'auteur dit que ça marche avec seulement n fonctions si on rajoute une hypothèse (holomorphiquement convexe).

[Doraki]

Ben en fait le terme que je cherchais (réunion dénombrable croissante de compacts) c'est σ-compact ou dénombrable à l'infini.

Donc en supposant que X l'est (et c'est dans ton article et apparemment dans la définition de variété complexe), si X est la réunion croissante des Kn, et si tu as un ensemble dénombrbale discret (x1,x2,...) dans X,
tu peux construire par récurrence une suite de fonctions fn qui sépare (x1,x2,...,xn), en prenant f(n+1) = fn + une fonction qui éloigne f(x(n+1)) des autres f(xn) au cas où il y ait une égalité, mais avec un multiplicateur suffisemment petit pour que la suite fn converge normalement sur chaque Ki, et tel que f(n+1) n'ait aucune chance de rapprocher suffisemment les f(xi) pour i<=n pour que à la limite ils soient accidentellement "dé-séparés".

[Archytas]

Ben en fait le terme que je cherchais (réunion dénombrable croissante de compacts) c'est σ-compact ou dénombrable à l'infini.

A priori ce n'est pas dans les hypothèses, à moins qu'on définisse un espace analytique comme étant une variété complexe ayant en plus cette propriété ?
Dans mon cours comme définition de variété complexe X j'ai :
- X est un bon espace topologique (connexe, localement connexe par arc et paracompact)
-X est munit d'une structure complexe
Et je viens de voir sur wikipédia que l'hypothèse sigma compacte y est et pas celle de paracompacte, bon je devais être fatigué ce jour là ^^...
Cela dit je comprends pas vraiment la construction de la fonction de séparation

tu peux construire par récurrence une suite de fonctions fn qui sépare (x1,x2,...,xn), en prenant f(n+1) = fn + une fonction qui éloigne f(x(n+1)) des autres f(xn) au cas où il y ait une égalité

On a notre fonction qui sépare les n premiers ok, et si elle sépare le n+1 on la laisse comme ça et sinon on pose telle que g éloigne . Mais le problème c'est que notre g va aussi "agir" sur les n premiers

mais avec un multiplicateur suffisamment petit pour que la suite fn converge normalement sur chaque Ki

J'imagine que la réponse à mon interrogation du dessus ce trouve là mais je comprends vraiment pas, le multiplicateur on le place sur g ? comme avec assez petit ?

et tel que f(n+1) n'ait aucune chance de rapprocher suffisemment les f(xi) pour i<=n pour que à la limite ils soient accidentellement "dé-séparés"

Là pareil, je vois pas à cause de ce que j'ai pas compris au dessus

[Doraki]

Oui, en fait pendant ta construction tu dois garder en tête une sorte de promesse qui dit que Sup |f(n+m) - fn| sur Kn doit être inférieur à un certain εn. Donc en fait à chaque étape tu promets que f(x) est dans une petite boule pour x dans Kn. Si εn tend vers 0, ta suite fn converge vers une fonction f uniformément sur chaque Kn, donc f est holomorphe et vérifie la promesse.

Evidemment tu dois choisir εn suffisemment petit pour que
d'une part à chaque étape, pour les points que tu dois séparer et qui sont dans Kn, les boules de centres fn(x) et de rayon εn doivent être disjointes (ce qui assure que f sépare tout le monde à la fin)
d'autre part que la promesse à l'étape n implique la promesse à l'étape n-1 (comme ça c'est plus simple)

Il suffit juste de prendre des λ et des εn suffisemment petits les uns après les autres et normalement comme t'as qu'un nombre fini de contraintes, c'est toujours possible.

[Archytas]

Ok bon je vais potasser tout ça et essayer de tout bien rédiger de mon coté, merci beaucoup pour ton aide

[Archytas]

Si εn tend vers 0, ta suite fn converge vers une fonction f uniformément sur chaque Kn, donc f est holomorphe et vérifie la promesse.
d'une part à chaque étape, pour les points que tu dois séparer et qui sont dans Kn, les boules de centres fn(x) et de rayon εn doivent être disjointes (ce qui assure que f sépare tout le monde à la fin)

C'est tout bien parfait à part un petit détail que j'ai pas compris : on peut très bien imaginer deux boules disjointes dont les rayons tendent vers 0 et les centres convergent en un même point. Parce qu'ici ne sera pas constant en fonction de n, donc on construira juste une suite qui sépare les points mais la disjonction des boules d'un me semble une condition trop faible pour passer à l'infini et espérer avoir une fonction qui sépare toujours les points, il faudrait au contraire que nos boules soient de rayon qui a une borne inf. Comme ça à l'infini on a toujours des boules disjointes, mais ça m'a l'air d'être une hypothèse lourde à porter de n à n+1 et peut être un peu trop restrictive cette borne inf.
Ou alors j'ai mal compris ce que vous avez écrit ce qui me semble plus probable, mais à part ça tout colle :
(je mets à part l'initialisation)
En notant notre ensemble discret.
On suppose avoir construit telle que . On pose telle qu'elle sépare tous les points de ainsi pour assez petit sépare tous les points de et est en norme sur inférieure à (par exemple) pour que ça marche...
Bon je sais qu'il y a plein de problème là dedans, comme le fait qu'on devrait pas appeler pareil le rayon et le epsilon qui sert à passer à fn+1 et aussi je suis pas passé à n+1 pour les rayons mais comme on a un ensemble fini de x et fn qui les sépares le fait que C soit Hausdorff suffit je pense.

[Doraki]

Il faut que l'adhérence des boules soient disjointes. Après puisque les boules sont de plus en plus petites et incluses les unes dans les autres, à la limite ça reste séparé.

Sinon t'as pas montré que ton f(n+1) mettait x(n+1) à distance > 2ε(n+1) de tous les autres f(xi), et là tu auras du mal avec ton εn qui joue les 2 rôles à la fois.

[Archytas]

Je comprends pas ce que vous voulez faire ...

Si on a notre qui est à une distance (strictement) supérieure à de .
Ensuite au rang on aura qui ne sera plus qu'à de et comme tend vers 0, à l'infini on aura que à une distance supérieure (ou égale) à 0 de ...
Si restait constante je suis d'accord que ça suffirait mais ce n'est pas le cas, si ?

D'ailleurs en parlant de qui resterait constante ça marcherait pas de faire ça en rajoutant juste et nulle sur les premiers ? On pose avec lambda choisi de manière à ce que ET sépare les premiers points ET soit uniformément convergente dans ça peut être sympa, on a plus à se préoccuper des rayons des boules qui me posent problème ?

Je fais un autre essai pour comprendre votre démarche : vous voulez mettre les dans des boules espacées de et vous arranger pour que bouge pas trop quand n varie ? Comme ça il reste loin des autres qui eux aussi bougent pas trop ?

[Doraki]

Je te rappelle que les boules sont incluses les unes dans les autres, j'ai dit qu'on voulait |fn(xj)-fn(xk)| > 2εn seulement pour que à une étape donnée, leurs adhérences soient disjointes, et donc que la séparation passe à la limite, C'EST TOUT. T'es en train de totalement laisser de coté le reste de la promesse.

Oui, faire une promesse que |f(n+m) - fn| < εn, ça veut bien dir eque dans le futur on va s'arranger pour que les f(n+m)(x) ne bouge pas trop.

[Archytas]

Ok ok je reverrai ça demain, je suis claqué ! Merci beaucoup pour votre aide, au moins j'ai enfin une solution, manque plus qu'à la comprendre !

[Archytas]

Alors voilà la réponse rédigée, je préfère vous la faire lire, comme ça si y a une coquille je passerai pas pour une moule pendant l'épreuve :
On note l'ensemble discret et la suite croissante de compact de réunion . On a comme petit lemme que pour tout ensemble fini de point il existe une fonction qui vaut 0 en tous sauf en un où elle vaut 1 et comme conséquence immédiate que n'importe quel ensemble fini de points est séparé par une fonction holomorphe. (ça fait office d'initialisation).
On suppose avoir construit telle que :
- sépare tous les points de
- sur

Soit avec dans et donc les sépare. On pose holomorphe telle que et avec et suffisamment petits pour que sépare avec sur .
Donc est bien construite et converge uniformément sur tout compact donc converge sur X vers et puisque est constante à partir d'un certain rang, sépare les points de D.
C'est correct ?

[Doraki]

Ca a l'air correct.

[Archytas]

Yeeeaaaaaaaah !!!
Merci beaucoup beaucoup Doraki !! ça faisait des semaines que j'étais là dessus j'en dormais plus haha !!! Merci à vous !