Aide pour un petit exo d'algèbre linéaire svp

[shar]

Bonsoir, je bloque sur un petit exo, pourtant j'ail l'impression de connaitre la réponse mais ça veut pas sortir , voilà l'énoncé :

K= R ou C
Soit E, un ev de dim' finie et soit f linéaire de E vers E , et dim(Im(f))=1.
Montrer qu'il existe A appartenant à K telle que f^2=Af

[Razes]

. donc la base de est composée d'un seul vecteur. Donc tous les éléments de sont colinéaires à ce même vecteur.

[shar]

Je n'arrive pas à voir en quoi cela aide à montrer l'existence de A

[Razes]

Soit

De même

[zygomatique]

salut

il me semble que c'est un peu plus compliqué : le scalaire dépend du vecteur

avec les notations de Razes

pour tout u dans E :: f(u) = k(u)v (k(u) scalaire dépendant de u)

et donc f o f (u) = f(k(u)v) = k(u)k(v)v

mais f(u + v) = k(u + v)v et f o f(u + v) = f(k(u + v)v) = k(u + v)k(v)v (+)

or f(u + v) = f(u) + f(v) = [k(u) + k(v)]v

donc f o f(u + v) = f([k(u) + k(v)]v) = k(v)[k(u) + k(v)]v (-)

en identifiant (+) et (-) on en déduit que pour tout vecteur u : k(u + v) = k(u) + k(v)


damned ... ça n'a pas l'air de marcher ...

[Ben314]

Salut

pour tout u dans E :: f(u) = k(u)v (où k(u) scalaire dépendant de u)
et donc f o f (u) = f(k(u).v) = k(u).f(u) = k(u)k(v).v

=k(v).[k(u).v] =k(v).f(u) où k(v) est une constante vu que v est constant.
Donc f o f = k(v).f

Attention, ce qu'on demande de montrer, ce n'est pas que f=Cst.Id (ce qui est en général faux), mais que fof=Cst.f

[zygomatique]

ha mais oui je me suis mélangé les pinceaux ... (bien relire l'énoncé pour savoir / se rappeler quelle est la question !!)

merci ben !!

[Razes]

Bonjour,

. donc la base de est composée d'un seul vecteur. Donc tous les éléments de sont colinéaires à ce même vecteur.

Soit ; nous avons donc: :


, donc :
d'où ; Le cas est nilpotent est un sous cas.

CQFD

[Ben314]

Soit ; nous avons donc: :

Si tu prend v dans ker(f), alors, effectivement ce n'est pas faux de dire que f(v)=lambda.v pour un certain lambda, mais c'est crétin vu que de toute façon f(v)=0 par définition de ker(f).

...

Là, par contre c'est franchement faux vu qu'il n'y a aucune raison que f(u) soit colinéaire à ton vecteur v de ker(f).

P.S. A mon avis, au lieu de terminer tes post. par du "C.Q.F.D.", il me semblerais plus judicieux (surtout pour celui qui a posé la question et qui risque de lire ta prose) que tu les commence par "je suis moi aussi débutant et j'aurais répondu ça".

[Razes]

Bonsoir,

Désolé pour l'erreur, j'ai écrit au lieu de ; je corrige, peut-être qu'il y a des failles dans mon raisonnement mais au moins ça a le mérite de proposer qlq chose:

Soit ; nous avons donc: :

, donc :
d'où ;
Le cas est nilpotent est un sous cas.

CQFD

J'ai toujours pensé qu'un forum est un espace de partage, d'échange et d'apprentissage ainsi que de tolérance. Mais il y a toujours des gens que je pourrais traiter d'imbéciles, de complexés, de bourricot (pardon bourricot d'avoir utilisé ton nom), ..., mais je ne le fais pas par respect au forum, qui dérogent à ces principes qui saisissent la moindre occasion pour fustiger les autres avec des propos malsains et des mots blessants, croyant avoir la science infuse.

[aviateur]

Bonjour
@Razes, il y a une faille (très mineure) dans ton raisonnement: soit v dans Im(f) et il faut ajouter v non nul.
Sinon cela me semble ok maintenant.

Remarque: j'aurai bien noté a par pour montrer la dépendance de a avec u.
D'ailleurs l'application est une forme linaire sur E.

Ah, oui, qu'est ce que tu entends par le cas nilpotent est un sous-cas?
En effet ici l'hypothèse est f est de rang 1, alors qu'un endomorphisme nilpotent n'est pas en général de rang 1.

[Pseuda]

Bonjour,

En résumé, dim (Im f ) = 1 donc Im f = Vect ( {v} ) avec v<>0 par définition de v. Il existe donc . Et on vérifie que :

1.

2.

(pour montrer que le lambda ne dépend pas du vecteur v choisi générateur de Im f).

[Razes]

Bonjour aviateur et merci,

Je suis d'accord concernant non nul car dans mon raisonnement est une base de .

Nous avons deux cas pour :
a) est un vecteur propre de , alors il existe ; tel que et dans ce cas:
Donc: (le dépends de car nous ne sommes dans la condition , ce qui est totalement différent) ce qui implique que

b) n'est pas un vecteur propre de , alors (donc c'est un cas avec ) . Donc d'où: donc nilpotent.

[Pseuda]

@Razes je ne vois pas pourquoi tu distingues les 2 cas : si f(v)=0 avec v<>0, alors v est vecteur propre de f pour la valeur propre 0, et c'est tout ?

[aviateur]

Rebonjour
@rasez je suis toujours d'accord avec ta démo.
Oui je comprends ce que tu veux dire mais attention malgré tout.
En effet tu prends v dans Im(f) et non nul . Comme on sait que rg(f)=1 alors il existe un tel que

que soit nul ou non nul v est toujours un vecteur propre.
Donc attention au début de ta phrase dans le petit b.

Pour moi dire "f nilpotent est un sous-cas" pourrait faire croire que "f nilpotent implique f est de rang 1"
bien que je me doute que ce n'est pas vraiment cela que tu veux dire.

[aviateur]

@pseuda
je ne pense pas que @rasez veuille considérer 2 cas. Simplement il le fait dans son dernier message pour m'expliquer ce qu'il entend par "f nilpotent est un sous-cas"

[Pseuda]

alors qu'un endomorphisme nilpotent n'est pas en général de rang 1.

Bonsoir,

?? Pourquoi ? Exemple : f(e1)=0, f(e2)=e1, f est de rang 1 et nilpotent d'ordre 2.