Aide en développement limité please

[Cacatoess]

Voici mon exercice et j'arrive vraiment pas à le résoudre :
1. Soit f:R;)R la fonction définie par f(x)=0 si x inférieur ou égal a 0 et f(x)=exp(;)1/x)
sinon. Calculer, pour tout n ;) N, le développement limité de f en 0. Quelles conclusions en tirer ?
2. Soit g : R ;) R la fonction d ;)efinie par g(0) = 0 et, si x différent de 0 : g(x)=x^3sin(1/x). Montrer
que g a un développement limité d’ordre 2 en 0 mais n’a pas de dérivée seconde (en 0).

Pour la 1 je me suis dit que vu que les dérivées successives de f sont toutes égalés à 0 alors que developpement limite de cette fonction est o(x^n). Mais je n'en suis pas du tout sûre.

Par contre pour la 2 je n'arrive pas du tout à commencer :cry:
Merci beaucoup de m'aider

[Robic]

Bonsoir !

1) Pour les dérivées successives, tu as bien calculé les dérivées à gauche et à droite, n'est-ce pas ? (C'est évident qu'elles sont nulles à gauche, mais à droite il y a du calcul à faire - par exemple par récurrence.) En effet ça donne une développement limité en o(x^n), mais pour tout n (pourtant la fonction n'est pas nulle). J'avoue que je n'ai jamais vu un truc pareil...

2) Il faut calculer les dérivées première et seconde de g pour x différent de 0. C'est assez pénible. g'(x) contient deux termes en x².sin(1/x) et x.cos(1/x), tandis que g''(x) contient quatre termes, un en x.sin(1/x), un en sin(1/x), un en cos(1/x) et un en (1/x).sin(1/x) (sauf erreur de calcul...)

Important : d'abord démontrer que x^k.sin(1/x) et x^k.cos(1/x) tendent vers 0 quand x tend vers 0 lorsque k>=1. Pour ça, encadrer le sinus par -1 et 1, ainsi x^k.sin(1/x) est encadré par -x^k et x^k, ça va tendre vers 0. Pareil avec le cosinus.

On en déduit que g et g' admettent une limite quand x tend vers 0, mais pas g''. g n'a donc pas de dérivée seconde en 0.

Reste à trouver un développement limité d'ordre 2 en 0. Par définition il faut trouver une écriture de la forme g(x) = a + bx + cx² + o(x²). Comme g est définie en 0, on sait que a=g(0). Comme g est dérivable en 0, on sait que b=g'(0). Il ne reste donc plus qu'à trouver c en s'arrangeant pour que la différence g(x)-(a+bx+cx²) soit o(x²). Vu l'expression qui définit g(x) (un x^3 multiplié par un truc borné !), et vu les valeurs de a et b, on doit se douter que c=0 devrait convenir...