Aide définition espace CAT(k), espace modèle

[Archytas]

Salut,
Quelqu'un sait à quoi correspond le "model space" d'un espace métrique décrit dans la définition de https://en.wikipedia.org/wiki/CAT(k)_space

Let be a triangle in with geodesic segments as its sides. is said to satisfy the inequality if there is a comparison triangle in the model space , with sides of the same length as the sides of , such that distances between points on are less than or equal to the distances between corresponding points on .

Je comprends ce qu'est X, ce qu'est Mk mais je vois pas vraiment le lien entre les deux...
C'est aussi utilisé là : http://www.math.u-psud.fr/~paulin/notescours/cours_georiem.pdf p.275

[Robot]

Je ne comprends pas ce qui te pose problème. Le texte de Paulin est très clair sur la définition, non ?
Relis-le, et dis plus précisément ce qui coince pour toi.

[Archytas]

Et bien dans les deux textes je ne vois absolument pas le rapport entre l'espace métrique et la variété de dimension 2. On les poses puis on travaille dessus comme s'ils étaient liés mais je ne comprends pas le lien entre les deux.

[Robot]

Mais que ne comprends-tu pas exactement dans la définition d'un espace ??
L'espace modèle sert d'étalon et permet de comparer les triangles géodésiques dans au triangle géodésique ayant des côtés de même longueur dans . Je parle "du" triangle géodésique ayant ces côtés de longueur donnée dans parce qu'il n'en existe qu'un à isométrie près, d'après le lemme 3.53 du texte de Paulin.
Vraiment, je ne comprends pas ce qui te bloque. L'idée derrière cette définition est que la courbure se traduit par le fait que les triangles sont plus ou moins maigrichons. En courbure positive, les triangles géodésiques sont replets comme sur la sphère, et en courbure négative il sont filiformes comme dans le plan hyperbolique.

[Archytas]

Ah... ? Ok pardon, oui c'est con, c'est simple. Merci !