Adhérence d'une boule ouverte

[Bjr49000]

Bonjour,
"Justifiez que B(X, ε) ⊆ [B(X, ε)]"
N'est ce pas plutôt : B(X, ε) ⊆ [B_f(X, ε)] ?
N'importe quelle boule de rayon positif sur l'enveloppe de la boule ouverte contient des éléments de l'intersection avec celle-ci et fait donc partie de l'adhérence.

[GaBuZoMeu]

Bonjour,

Qu'est-ce que ?

[Bjr49000]

B(X, ε) la boule ouverte centrée en X de rayon ε càd { X de R^p / norme de X < ε }
B_f(X, ε) la boule fermé càd { X de R^p / norme de X ≤ ε }

[GaBuZoMeu]

Tu ne réponds pas à ma question. Je te demande ce que désigne ton [B(X, ε)] (avec les crochets).

[Bjr49000]

L'adhérence pardon

[GaBuZoMeu]

Ça me semble bizarre comme question. Pour moi la définition de l'adhérence d'une partie A d'un espace topologique X est "le plus petit fermé de X contenant A". Il est alors immédiat d'après la définition que toute partie est contenue dans son adhérence.
Mais peut-être t'a-t-on donné une autre définition de l'adhérence ? Laquelle ?

[Bjr49000]

Adhérence de A : ensemble des X de qui vérifient : ∀ℇ>0, A ∩ B(X, ℇ) ≠ ∅

[Bjr49000]

Il convient de montrer que tout élément de B(X, ℇ), ∀ℇ'>0, B(X, ℇ) ∩ B(X, ℇ') ≠ ∅ ce qui est trivial (il existe une distance non nulle entre l'élément et l'enveloppe de la boule).
L'adhérence d'une boule ouverte contient les éléments Y qui vérifient d(X - Y) = ℇ puisque pour tout ces Y il existe une suite de B(X, ε) qui converge vers Y.
Donc adhérence [B(X, ε)] = B_f(X, ε)
B(X, ε) ⊆ [B(X, ε)] est donc vraie puisque l'adhérence contient aussi l'enveloppe.
J'ai tout bon ? Je me suis embrouillé sur l'inclusion / inclusion stricte ..

[GaBuZoMeu]

Tu t'embrouilles complètement.

Posons (ce qu'est n'a en fait aucune importance).

Il s'agit de montrer que pour tout et tout , .

Or il y a clairement un élément qui appartient à la fois à et à . Tu vois lequel ?