Action de PGLn+1 sur Pn?

[RadarX]

Bonjour,
j'ai le pb suivant:

un corps, n >=1. On note l'ensemble des orbites de sous l'action de par l'homothetie X -------> .
Alors me dit-on que de l'action naturelle de sur (qui est la multiplication d'une matrice M par le vect x de ), on déduit par passage au quotient une action de sur !!!!!!

Alors la????? le passage au quotient se fait comment?

Aussi a-ton les isomorphismes ~ ; ~ ; ~ .

[Yipee]

On fait comme toujours pour construire une application dans un quotient. Tu pars avec ton action qui est l'application
En suite tu composes avec la projection
Tu as alors une application

Maintentant pour montrer qu'elle se factorise par il suffit de regarder ce que donne cette application avec les homothéties.

[yos]

Bonjour.
Les orbites sont les droites vectorielles de et elles forment l'espace projectif Pn(K).
On quotiente le groupe linéaire GLn+1(K) par son sous groupe des homothéties et on obtient PGLn+1(K) qui agit naturellement sur Pn(K) puisque les homothéties sont sans effet sur les droites vectorielles.

[RadarX]

On fait comme toujours pour construire une application dans un quotient. Tu pars avec ton action qui est l'application
Ensuite tu composes avec la projection
Tu as alors une application
.

Tu voulais sans doute ecrire au lieu de . Peux tu me le confirmer?
Ensuite serait-ce ton application de ?

Maintentant pour montrer qu'elle se factorise par il suffit de regarder ce que donne cette application avec les homothéties.

Je ne vois pas par ailleurs ca que tu veux dire par cette affirmation. Il suffit....de quoi exactement?
Ne voulais tu pas ecrire plutot plutot que ?

[Yipee]

Oui je note pour

[RadarX]

Bonjour.
Les orbites sont les droites vectorielles de et elles forment l'espace projectif Pn(K).
On quotiente le groupe linéaire GLn+1(K) par son sous groupe des homothéties et on obtient PGLn+1(K) qui agit naturellement sur Pn(K) puisque les homothéties sont sans effet sur les droites vectorielles.

Comment definit-on une droite vectorielle de l'ev?
{}??
Comment definit-on un espace projectif?
C'est quoi exactement , et leurs defintions formelles? c'est quoi la relation entre ces deux notions?

[RadarX]

Comment definit-on une droite vectorielle de l'ev. {}?????
Comment definit-on un espace projectif?
C'est quoi exactement , et leurs defintions formelles? c'est quoi la relation entre ces deux notions?

Je viens de saisir ce que c'etait une droite vectorielle d'un K-ev E: rien a avoir avec ce que j'ai marqué plus haut.
Pareil aussi pour l'espace projectif: je vois now.
Avec la fatigue et la flemme je voulais gagner du temps; elles ont ete toutes deux surmontées pour l'instant.
Je maintiens ma question pour , .

Merci.

[RadarX]

On fait comme toujours pour construire une application dans un quotient. Tu pars avec ton action qui est l'application
Ensuite tu composes avec la projection
Tu as alors une application
.

C'est bon, j'ai vu que tu voulais bien ecrire .
Mais ce serait quoi cette projection? peut etre?

[RadarX]

Reitere ma question:

Que signifie les notations suivantes et leurs definitions formelles: , et l'eventuelle relation entre ces deux ensembles.
De maniere generale c'est quoi, (peut etre sphere unité de ?) et son importance en theorie des groupes?

Merci.

[nekros]

Salut RadarX,

Tu peux aller voir ce lien

A+

[RadarX]

Salut RadarX,

Tu peux aller voir ce lien

A+

Thanks Nekros; j'hesite toujours a aller sur Wikipedia pour eviter de me disperser. Mais bon, de temps en temps ... c'est pas mal!

[nekros]

Thanks Nekros; j'hesite toujours a aller sur Wikipedia pour eviter de me disperser. Mais bon, de temps en temps ... c'est pas mal!

De rien.
C'est vrai qu'il y a des articles intéressants.
Mais faut faire gaffe au contenu :zen:

A+

[RadarX]

Bonjour.
Les orbites sont les droites vectorielles de et elles forment l'espace projectif Pn(K).
On quotiente le groupe linéaire GLn+1(K) par son sous groupe des homothéties et on obtient PGLn+1(K) qui agit naturellement sur Pn(K) puisque les homothéties sont sans effet sur les droites vectorielles.

Je ne vois toujours pas comment agit naturellement sur .

A-t-on de maniere generale une action naturelle de sur l'ensemble des orbites (classes) ? Et laquelle?

[Yipee]

Je vais reprendre... Il y a une action naturelle de sur . Cette action est donnée par l'application . Maintenant, on voit que cette action passe au quotient pour donner une action de sur (pour cela tu prends un vecteur X et un multiple aX avec a dans K et tu vois que

Maintenant pour voir que cela va induire une action de sur il suffit de voir que les homothéties (les matrices du type agissent de manière triviale.

[RadarX]

Bonjour.
Les orbites sont les droites vectorielles de et elles forment l'espace projectif Pn(K).
On quotiente le groupe linéaire GLn+1(K) par son sous groupe des homothéties et on obtient PGLn+1(K) qui agit naturellement sur Pn(K) puisque les homothéties sont sans effet sur les droites vectorielles.

Dans ce post, J'arrive a construire mecaniquement (meme si c'est trivial) une app de qui est candidat a l'action que je recherche et qui parait triviale a tout le monde!!
La voici l'action:
Comme et que est l'ensemble des alors
on a .
Je verifie que c'est bien une application et que c'est meme une action.

Je trouve toujours que ton affirmation

GLn+1(K) par son sous groupe des homothéties et on obtient PGLn+1(K) qui agit naturellement sur Pn(K)...

est un peu vite dite et pareil pour la justification aussi .

puisque les homothéties sont sans effet sur les droites vectorielles.

Cela m'inquiete; cela voudrait dire qu'il y a des evidences dans les manieres de quotienter des applications (la principale etant la decomposition canonique ou factorisation) que je ne maitrise pas encore ou meme pire, que je ne connais pas!

[RadarX]

Je reprend... Il y a une action naturelle de sur qui est .

Jusque la oui!

Maintenant, on voit que cette action passe au quotient pour donner une action de sur (pour cela tu prends un vecteur X et un multiple aX avec a dans K et tu vois que

Une action qui passe au quotient??
Je sais qu'on peut quotienter un groupe par un sous groupe (G/H) ou qu'un morphisme peut etre factorisé en faisant apparaitre un quotient..., mais une action (une application) qui passe au quotient???? (ca signifie quoi?)
Pour la suite de ce post on verra apres que tu m'aies m'eclaici ce qui precede d'abord.

Merci.

[Yipee]

Concretement si tu as une application et que tu te donnes une relation d'équivalence sur A que je note Alors f passe au quotient si elle se factorise en où est la projection sur le quotient. De la même manière si tu as une application et une relation sur A, elle passe au quotient si on peut factoriser sous la forme . (Il est plus simple de le représenter avec des carrées commutatifs mais pour les taper en tex.... :hum: )

Un exemple simple tu prends l'application multiplication par 3 dans Z. Elle va passer au quotient pour donner une application de Z/nZ dans Z/nZ. Par contre l'application ajouter 3 dans Z (je regarde Z comme ensemble sans structure), elle ne passe pas au quotient par nZ.

[RadarX]

...tu as une application et une relation d'équivalence sur A que je note .
Alors f passe au quotient si elle se factorise en où est la projection sur le quotient. De la même manière si tu as une application et une relation sur A, elle passe au quotient si on peut factoriser sous la forme . (ca se voit mieux en diagramme commutatif, mais en tex.... :hum: )
Un exemple:soit l'app multiplication par 3 dans Z. Elle va passer au quotient pour donner une application de Z/nZ dans Z/nZ.
Par contre l'app ajouter 3 dans Z (Z comme ensemble sans structure), elle ne passe pas au quotient par nZ.

OUh la la la !!! :dodo: Il me semble que tu parles de la fameuse decomposition canonique d'une app f avec la relation d'equivalence x R y f(x) = f(y).
Mais ton exemple me semble suspect:
je comprend moi Z ---> Z (x --->3x) (alors precisions:endomorphisme de groupes ou simple application dans un ensemble sans structure?)
Dans les 2 cas, l'app est injective et il n'y a pas de factorisation (interessante)
Je ne vois pas non plus d'ou sort ton n dans Z/nZ.

Et dans la 2é application je ne vois pas de quoi tu parles: peut-etre Z--->Z (x --->3+x)????

[Yipee]

Je reprends mes exemples qui sont buggés....

Je considère Z comme simple ensemble. Je considère deux applications. La première f associe à n le nombre 3xn. La deuxième g associe à n le nombre (la partie entière de l'exponentielle) (j'ai changé car cela marchait aussi avec . Maintenant je veux quotienter modulo 5 par exemple.

- Pour f, on a une application qui consiste a prendre un nombre n, le mutliplier par 3 puis prendre sa classe de congruence modulo 5. Maintenant si tu pars avec n et n' deux entiers congrus modulo 5, tu vas tomber dans la même classe de congruence. Tu définis ainsi l'application

- Pour g si tu essayes de faire de même cela ne marche pas. En effet [e^1] = 2 et [e^6] = 403 et 2 et 403 ne sont pas congrus modulo 5.