Action de groupe évidente.

[ezril13]

Bonjour,

Je dois montrer que l'action évidente du groupe linéaire sur l'espace vectoriel admet exactement deux orbites.

Le problème est que je n'arrive pas a voir l'action "évidente".
J'ai pensé à l'action qui associe l'identité mais cela donne une infinitée d'orbite donc ca doit être autre chose.

Merci.

[Robot]

L'action est



où est tout simplement le produit de la matrice par le vecteur colonne .

[Ben314]

Salut,
A mon avis, ça serait (au minimum) pas con de savoir ce qu'est une "action de groupe" de façon à voir s'il y en a une "d'évidente". Donc :
Rappel : Une action d'un groupe G sur en ensemble E, c'est la donnée une application vérifiant certain axiomes.

Ici, un élément du groupe , c'est une matrice inversible de taille et un élément de , c'est un n-uplet de réels.
N'y aurait il pas, par hasard, une façon "naturelle" de "fabriquer" un élément de E (donc un n-uplet de réels) en partant de et de ?
Les axiomes sont-ils vérifiés ?