Accroissement finis

[phillipe20]

boisoir a tous, je bloque sur un exercice si qq1 peut m'aider:

on a g(x)=x|x| et on nous demande de montrè l'inegalitè suivante:

(g(x)-g(y))(x-y)>=2((x-y)^2)Min(|x|,|y|).


l'énoncé précise qu'il suffit d'utiliser le théorème des accroisement finis mais je ne vois vraiment pas comment.

[Nightmare]

Salut :happy3:

Le TAF nous donne que |g(x)-g(y)| < (x-y) ||g'||

Essaye d'exprimer ||g'|| facilement.

[phillipe20]

oui,g'(x)=2|x| dc le TAF donne l'existence de c appartenant a [x,y] x
|g(x)-g(y)| je ne suis pas plus avancé

[Nightmare]

Je te parle pas de g' mais de sa norme infinie.

[Nightmare]

Cela dit c'est quand même bizarre comme résultat, je n'arrive pas à l'obtenir. Es-tu sûr de l'énoncé?

[alavacommejetepousse]

bonsoir pour 0
on aurait

x+y >= 2 x(y-x)^2 ce qui est clairement faux pour y assez grand

[phillipe20]

une erreur de ma part, l'inégalitè est mauvaise( il faut changer le min par |c(x,y)| où c(x,y) est compris strictement entre x et y) cela dit je n'y arrive toujours pas.Je vous explique de quoi il s'agit:


on se donne un intervalle [a,b] fermè,bornè de R,aR une fonction
donnée continue sur [a,b].On considère alors l' equadiff sur [a,b]:

pour tout x dans [a,b]: y'(x)+y(x)|y(x)|=f(x).

On suppose ensuite que y et z sont C1 sur [a,b] et qu'ils sont solutions de l'equadiff.
On veut alors montrer que:

pr tt x ds [a,b]:

(y'(x)-z'(x))*(y(x)-z(x)) +2((y(x)-z(x))^2)Min(|y(x)|,|z(x)|)<=0.


J'ai donc admis l'inégalitè du debut pour obtenir le résultat.
Enfin,resultat assez médiocre:

j'utilise bien evidémment l'inégalité du début et je pose:x=y(x) et y=z(x).

j'ai alors:(g(y(x))-g(z(x)))*(y(x)-z(x))<=2(y(x)-z(x))^2Min(|y(x)|,|z(x)|)
Mais comment justifie t'on le passage de g(y) a g(y(x))?? On passe guand même de fonction 'simple' a fonction composée.