Absence de bijection.

[vincentroumezy]

Bonjour à tous.
Je voudrais montrer que n'est pas équipotent à , du coup, je me suis dit, autant montrer qu'il y a une bijection entre et , mais je ne parviens pas à la trouver.
Si vous avez des indices.....merci.

[Arkhnor]

Bonjour.

Il suffit (par exemple) de construire une surjection de dans l'ensemble des rationnels strictement positifs. (pourquoi ?)

C'est pas très difficile si on se souvient de ce qu'est un rationnel.

[vincentroumezy]

Je pensais à utiliser un truc comme la diagonale de Cantor, mais je vais essayer ce que tu proposes.

[Arkhnor]

Ma réponse concerne l'existence d'une bijection entre Q et N.

Ensuite, si tu cherches à montrer qu'il n'y a pas de bijection entre N et R, c'est des arguments plus évolués; comme la diagonale de Cantor par exemple.

[Nightmare]

Hello,

un [url="http://www.maths-forum.com/kholle-cancres-105311.php"]exercice[/url] moins classique sur l'équipotence de Q et N.

:happy3:

[vincentroumezy]

Intéressant merci.
A Arkhnor, et sont en bijection, et ensuite on utilise le fait que l'union de deux ensembles dénombrables est dénombrable ?

[chan79]

Intéressant merci.
A Arkhnor, et sont en bijection, et ensuite on utilise le fait que l'union de deux ensembles dénombrables est dénombrable ?

Slt
Je ne sais si ça peut aider mais j'ai essayé de faire un dessin pour visualiser une bijection de N dans Q
Le principe est de décrire tout le quadrillage du plan en suivant la ligne bleue. Chaque noeud du quadrillage (sauf l'origine) correspond à un rationnel. Le point (a,b) correspond au rationnel a/b. Il ne faut marquer un noeud (en rouge) que s'il ne correspond pas à un rationnel déjà choisi.
On numérote les points rouges au fur et à mesure. On est sûr que tout rationnel finira pas être trouvé.
On ne met pas de point sur les axes sauf pour 0.
[img][IMG]http://img193.imageshack.us/img193/7982/azertyb.png[/img][/IMG]
soit u la suite. On a:
u(0)=0
u(1)=1
u(2)=-1
u(3)=-2
u(4)=2
u(5)=1/2
u(6)=-1/2
etc...
u(22)=-3/4
u(26)=-5
u(31)=4/5
Evidemment, on n'explicite pas u(n) en fonction de n
Il ne s'agit que de visualiser une telle bijection

[Kikoo <3 Bieber]

Nightmare : Ta khôlle est-elle accessible à mon niveau ? :D
Parce qu'il est marrant, ça me fait penser aux fautes des collégiens quand ils veulent additionner deux fractions ><

[Nightmare]

Modulo le vocabulaire à éventuellement chercher sur internet, c'est faisable oui.

[vincentroumezy]

Slt
Je ne sais si ça peut aider mais j'ai essayé de faire un dessin pour visualiser une bijection de N dans Q
Le principe est de décrire tout le quadrillage du plan en suivant la ligne bleue. Chaque noeud du quadrillage (sauf l'origine) correspond à un rationnel. Le point (a,b) correspond au rationnel a/b. Il ne faut marquer un noeud (en rouge) que s'il ne correspond pas à un rationnel déjà choisi.
On numérote les points rouges au fur et à mesure. On est sûr que tout rationnel finira pas être trouvé.
On ne met pas de point sur les axes sauf pour 0.
Il ne s'agit que de visualiser une telle bijection

J'avais déjà essayé quelque chose de semblable pour visualiser.
Pour la démonstration, on sait que est équipotent à N, donc aussi.
Ensuite, f de N²\{0} dans Q*+ définie par f(n,m)=n/m est bien surjective ?

[vincentroumezy]

Petit up: est ce juste ?

[Arkhnor]

Ensuite, f de N²\{0} dans Q*+ définie par f(n,m)=n/m est bien surjective ?

Si tu as un doute (le point d'interrogation), réécris la définition de l'ensemble des rationnels.

Pour moi c'est correct. Peut-être un tout petit mot pour justifier que :
- est en bijection avec ;
- est en bijection avec .

C'est plus ou moins évident, et on peut surement le passer sous silence lors de la rédaction; mais il vaut mieux le prouver proprement quand on débute. (rien de difficile, ni ici, ni dans l'exercice, tout est question de rédaction)

[Luc]

Salut,

Ton idée est bonne (et le résultat à montrer est juste) mais la méthode est compliquée.
On sait d'après le théorème de Cantor-Bernstein qu'étant donnés deux ensembles A et B, A est équipotent à B si et seulement si on peut injecter A dans B et B dans A. Il est clair que s'injecte dans par l'injection canonique. Comme une union dénombrable de dénombrables est dénombrable, il suffit de montrer que , ensemble des rationnels positifs, s'injecte dans c'est-à-dire que est dénombrable. Pour cela, il suffit d'injecter dans , puisque est dénombrable. Et l'application définie par , où est l'unique représentant irréductible du rationnel , est une injection.
Mais pour répondre à ta deuxième question, la dénombrabilité de ne suffit pas en soi, il faut aussi montrer que (par exemple) n'est pas dénombrable. On peut montrer que est équipotent à l'ensemble des parties de avec le développement des réels en base 2. Cela permet de conclure à la non dénombrabilité de , donc de , en utilisant le théorème de Cantor : il n'existe pas d'injection de dans .

Luc

Bonjour à tous.
Je voudrais montrer que n'est pas équipotent à , du coup, je me suis dit, autant montrer qu'il y a une bijection entre et , mais je ne parviens pas à la trouver.
Si vous avez des indices.....merci.

[vincentroumezy]

Si tu as un doute (le point d'interrogation), réécris la définition de l'ensemble des rationnels.

Pour moi c'est correct. Peut-être un tout petit mot pour justifier que :
- est en bijection avec ;
- est en bijection avec .

C'est plus ou moins évident, et on peut surement le passer sous silence lors de la rédaction; mais il vaut mieux le prouver proprement quand on débute. (rien de difficile, ni ici, ni dans l'exercice, tout est question de rédaction)

Effectiement, f est clairement surjective, car tout rationnel strictement positif est le quotient de deux entiers naturels non nuls.