ED 2nd ordre a coef constant

par **manu18ck** » 27 Juin 2007, 17:33

Bonjour je cherche a montrer que que l'ensempble H des solutions de ay"+by'+cy=0 est un espace vectoriel de dimension 2.
l'E.V. j'ai réussi (pas dur)
pour la dimension on ma dit de dire que d_t0:H->K² est linéaire et bijective y->(y(t0),y'(t0))

pourriez vous m'aider a demontrer ceci merci

par **kazeriahm** » 27 Juin 2007, 17:45

le fait qu'elle est linéaire c'est bon ?

l'injectivité et la surjectivité te sont donnés par le thm de Cauchy Lispchitz

par **manu18ck** » 27 Juin 2007, 18:37

Si je balance ca texto que ca provient du théorème de cauchy le jury de l'oral du capes de math risque pas de me demander la demo de cauchy? c pas que j'orai pas envi de leur donné mé g otr chose a apprendre! merci ++

par **kazeriahm** » 27 Juin 2007, 19:28

non bah faut développer mais c'est l'argument...

pour a,b et t0 dans K donné, il existe une unique solution y de (E) telle que y(t0)=a et y'(t0)=b... (version linéaire du théorème)

en meme temps si il faut que tu démontres tout ce que tu dis t'es pas sorti

par **emdro** » 27 Juin 2007, 21:34

Bonsoir,

Pour la dimension, tu peux exhiber une base, dans les trois cas selon le signe du discriminant de l'équation caractéristique.
L'avantage, si c'est pour le capès, c'est que cette méthode est constructive.
Je te déconseillerais de faire autrement.

par **manu18ck** » 28 Juin 2007, 09:47

oui alors je veux bien mais comment car quand on trouve 2 solutions non proportionnelle (avec l'equation caractéristique) pour montrer que c'est une base on a que cette famille est libre (car non liée) est pour conclure je voulais me servir du lemme ou je dis que c'est de dimension 2!

tu fais comment pour montrer que c'est une famille génératrice? car avec ca oui ca montre que c'est une base de 2 vecteur d'ou la dimension 2

merci de me donner la démo dans C avec x->exp(r1.t) et x->exp(r2.t) ou r1et r2 sont 2 racines distinctes de l'equation caractéristique.

ensuite j'ai un autre problème (oui les ED c'est pas mon fort) dans un exemple que je ve présenté: y"+4y'=4x^3
pour la solution particulière je sais que je dois la chercher sous la forme d'un polynome de degré 4 mais pourquoi? (moi je répondrai parceque ça marche..?)
la méthode de variation de la constante marche t'elle tout le temps?(j'ai pas réussi a l'aboutir dans cet exemple)

par **emdro** » 28 Juin 2007, 10:18

manu18ck a écrit:tu fais comment pour montrer que c'est une famille génératrice? car avec ca oui ca montre que c'est une base de 2 vecteur d'ou la dimension 2

Tu prends une solution f de ton équation. Et tu démontres que f est de la forme lamdba*f1+ mu*f2. Je n'ai pas le temps de me replonger là-dedans, mais en écrivant le fait que f, f1 et f2 vérifient ton équation cela découle assez simplement. .

Tu te ramènes à ag"+bg'+cg=0 avec g(0)=g'(0)=0 en posant g=f-(lamdba*f1+ mu*f2), lambda et mu choisis pour avoir justement g(0)=g'(0)=0 .
Et tu prouves que cette fonction est nécéssairement nulle, en posant g=h*exp(rx) où r est une solution de l'équation caractéristique.

(Pour l'ordre 1, c'est une question de cours en TS)

manu18ck a écrit:ensuite j'ai un autre problème (oui les ED c'est pas mon fort) dans un exemple que je ve présenté: y"+4y'=4x^3
pour la solution particulière je sais que je dois la chercher sous la forme d'un polynome de degré 4 mais pourquoi? (moi je répondrai parceque ça marche..?)
la méthode de variation de la constante marche t'elle tout le temps?(j'ai pas réussi a l'aboutir dans cet exemple)

Si P est un polynôme, le degré de P étant n, ona a deg(P")=n-2 et deg(P')=n-1.
Donc deg(P"+4P')=n-1.
Si tu veux que ce soit égal à 4x^3, il vaut mieux prendre n=4...

Pour résoudre cette équation, pose Y=y' avant de faire ta variation de constante.

par **manu18ck** » 28 Juin 2007, 10:24

merci bien

par **tbotw69** » 28 Juin 2007, 10:25

manu18ck a écrit:ensuite j'ai un autre problème (oui les ED c'est pas mon fort) dans un exemple que je ve présenté: y"+4y'=4x^3
pour la solution particulière je sais que je dois la chercher sous la forme d'un polynome de degré 4 mais pourquoi? (moi je répondrai parceque ça marche..?)

Ca dépend des racines de l'équation caractéristique ... si une racine simple est solution, c'est le degré du polynome du 2nd membre +1. Si c'est racine double, c'est deg. du polynome +2. Sinon, le degré de la solution particulière reste le même.

Je me souviens plus exactement comment faire, mais c'est pas bien dure à montrer (si je retrouve je poste)

par **manu18ck** » 28 Juin 2007, 10:36

emdro a écrit:Tu prends une solution f de ton équation. Et tu démontres que f est de la forme lamdba*f1+ mu*f2. Je n'ai pas le temps de me replonger là-dedans, mais en écrivant le fait que f, f1 et f2 vérifient ton équation cela découle assez simplement. .

je c que je suis un boulet mais si quelqu'un avait la patiance de me dévelopé ceci serai vraiment sympa merci d'avance

par **fahr451** » 28 Juin 2007, 10:47

bonjour

voila une façon
je traite le cas complexe seulement
prenons r1 solution (complexe) de l équation caractéristique

1)f1 (t) = exp(r1t) est solution

2)on cherche TOUTES les sol y sous la forme y (t) = k(t) f1(t)

ce qui est possible car f1 ne s'annulant pas on peut définir k= y/f1

k est deux fois dérivable comme y

3) y sol SSI
a(k"f1 +2k'f1' + kf " 1 ) +b ( k'f 1 + kf'1) +ckf1 = 0
ssi
k " af1 + k ' (2af1' +bf1) = 0 car f1 solution

4) on pose z = k ' on a donc une équa diff du premier ordre en z que l'on sait ( j'espère) résoudre

5) on trouve z puis k puis y ( on a travaillé tout le temps par équivalence)

6) il y a aura deux cas suivant que r1 est racine double ou simple

et on utilisera r 1 + r 2 = -b/a

ED 2nd ordre a coef constant

ED 2nd ordre a coef constant

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