(10^1509-1)*2012/4527=444444...

[Dubble]

Bonjour.
(10^1509-1)*2012/4527= 4*somme de k = 0 à 1509 des 10^k
Comment expliquer ceci ?
Ca a un rapport avec le petit théorème de fermat apparemment.
Aussi, 1509/3=2012/4

Merci de votre aide.

[Ben314]

Salut,
Je pense que ça a surtout à voir avec le fait que 2012/4527=4/9 et que
(10^n-1)*4/9 = 4*9999....9999/9 = 4*1111...1111 = 4444...4444

[Dubble]

Mais il faut en plus que 99999...999 soit divisible par 4527.
La question c'est : montrer qu'il existe un multiple de 2012 qui ne s'écrit qu'avec des 4.
J'ai trouvé cette valeur qui convient.

[Ben314]

Mais il faut en plus que 99999...999 soit divisible par 4527.

ça, vu ton post de départ, je vois pas trop comment on pouvait le deviner....

De plus, le nombre "4*somme de k = 0 à 1509 des 10^k"=4.(10^1510-1)/9 n'est pas divisible par 2012 (vérification avec wolfram)


Bon, vu que , en fait, tu cherche tels que soit divisible par c'est à dire tel que soit divisible par .
Comme est toujours divisible par et que est premier avec , cela revient à chercher tel que soit divisible par c'est à dire tel que .
Comme est en fait un nombre premier, le petit théorème de Fermat te dit alors que, pour ça marche.
Tout multiple de marche évidement aussi et il est possible que ça marche pour certain diviseurs de (décomposition en nombre premiers), mais, aprés calcul, et .
Les solutions sont donc trés exactement les multiples de .

[nodjim]

Moralité: on peut toujours trouver un repunit multiple d'un premier différent de 2 ou 5.

[Ben314]

Moralité: on peut toujours trouver un repunit multiple d'un premier différent de 2 ou 5.

ou plus généralement, de tout entier (premier ou pas) non divisible par 2 ni par 5.